Sistem Persamaan Linier Tiga
Variabel (SPLTV) dapat diselesikan dengan beberpa metode, yakni eliminasi,
subtitusi, campuran, determinan dan matrix.
A. Metode
Eliminasi
Metode eliminasi dilakukan dengan mengeliminasi salah satu
variable, sehingga dari SPLTV akan didapat SPLDV. Kemudian dilakukan eleminasi
kembali sehingga didapat harga sebuah variable. Untuk lebih jelasnya perhatikan
contoh dibawah ini.
Diketahui 3 persamaan dibawah ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah
masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1 :
Eliminasi salah satu variable, carilah salah satu
persamaan yang paling mudah. Sebagai contoh variable X akan dieliminasi (karena
X paling mudah, koefisiennya tidak terlalu besar).
Langkah 2 :
Lakukan
operasi terhadap dua buah persamaan, misalnya persamaan 2 dikurangi 2 kali persamaan dua untuk mengeliminasi
variable X. Akan didapat persamaan baru (persamaan
iv) yang berbentuk SPLDV.
2X
+ 4Y - 2Z = 12 |x1 |
2X + 4Y - 2Z = 12
X + 3Y + 2Z = 16 |x2 | 2X + 6Y + 4Z = 32 -
- 2Y – 6Z = -20 …….. iv
Langkah 3 :
Lakukan operasi terhadap dua persamaan lainnya. Dalam
contoh persamaan 3 dikurangi persamaan 1.
X + Y + 4Z = 20
X + 3Y + 2Z = 16 -
- 2Y + 2Z = 4
………. v
Langkah 4 :
Eliminasi
salah satu variable dalam SPLDV (peramaan iv dan v). Misalnya variable Y karena
koefisiennya sama.
-
2Y – 6Z = -20
- 2Y + 2Z = 4
-
- 8Z = -24
Z = 3
Langkah 5 :
Subtitusikan
nilai Z ke dalam persamaan iv atau v. Pilih persamaan yang paling simple (dalam
contoh persamaan v). Dilakukan untuk mendapatkan nilai variable lainnya.
- 2Y + 2Z = 4 -2Y = 4 – 6 Y = 1
- 2Y + (2 . 3) =
4 = -2
Langkah 6 :
Subtitusikan
kedua nilai variable yang sudah didapat kedalam persamaan i, ii atau iii untuk
mendapatkan nilai variable ketiga. Sekali lagi pilih persamaan yang paling
simple.
X +
Y + 4Z = 20 X = 20 -13
X + 1 + (4.3) = 20 X = 7
X + 1 + 12 = 20
Langkah 7 :
Tentukan
himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
B. Metode
Substitusi.
Metode ini dilakukan dengan mensubtitusikan salah satu
variable sehingga jumlah variable menjadi berkurang. Ulangi subtitusi sehingga nilai suatu variable didapat.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh yang sama seperti
dibawah ini.
Diketahui 3 persamaan dibawah ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah
masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1 :
Carilah
persamaan yang paling simple. Pindahkan dua buah variable kesebelah kanan,
untuk mendapatkan nilai variable lainnya. Contoh peramaan i, vaiabel Y dan Z
dipinhakan ke sebelah kanan. Didapat persamaan baru (persamaan iv).
X + 3Y + 2Z = 16
X =
-3Y -2Z + 16 ……. iv
Langkah 2 :
Subtitusikan
nilai persamaan baru kedalam persamaan ii. Dilakukan untuk menghilangkan
variable disebelah kiri pada persamaan baru (persamaan iv).
2X + 4Y - 2Z = 12
2 (-3Y -2Z + 16) + 4Y - 2Z
= 12
-6Y – 4Z + 32
+ 4Y - 2Z
= 12
-2Y -6Z = 12 -32
-2Y -6Z = -20
Y + 3Z = 10
Y = -3Z +10 ……… v
Langkah 3 :
Ulangi langkah
2 untuk persamaan iii.
X +
Y + 4Z = 20
(-3Y - 2Z + 16) + Y + 4Z = 20
-2Y + 2Z = 20 -16
-2Y + 2Z = 4
-Y + Z = 2 ……… vi
Langkah 4 :
Subtitusikan
persamaan v kedalam persamaan vi, untuk mendapatkan nilai variable.
-Y + Z = 2
- (-3Z +10 ) + Z = 2
4Z
= 2+10
Z = 3
Langkah 5 :
Subtitusikan
nilai Z kedalam persamaan v untuk mendapatkan niali variable Y.
Y = -3Z +10
= -3 (3) +10
Y = 1
Langkah 6 :
Subtitusikan
nilai Z dan Y ke dalam persamaan i, ii atau iii. Pilih yang paling simple untuk
mendapatkan nilai variable terakhir.
X + Y + 4Z = 20
X = -Y – 4Z + 20
= -1 –(4.3) + 20
X = 7
Langkah 7 :
Tentukan
himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
C. Metode
Campuran
Metode Campuran, adalah gabungan dari metode eliminasi dan
metode subtitusi. Untuk lebih memahami metode ini perhatikan contoh yang sama
seperti dibawah ini.
Diketahui 3 persamaan dibawah ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah
masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah
1 :
Eliminasikan
salah satu variable. Lakukan operasi terhadap dua buah persamaan, misalnya
persamaan 2 dikurangi 2 kali persamaan satu untuk mengeliminasi variable X. Akan didapat persamaan baru (persamaan iv) yang berbentuk SPLDV.
2X
+ 4Y - 2Z = 12 |x1 |
2X + 4Y - 2Z = 12
X + 3Y + 2Z = 16 |x2 | 2X + 6Y + 4Z = 32 -
- 2Y – 6Z = -20 …….. iv
Langkah
2 :
Lakukan eliminasi terhadap variable yang sama. Lakukan
operasi terhadap dua persamaan lainnya. Dalam contoh persamaan 3 dikurangi
persamaan 1.
X + Y + 4Z = 20
X + 3Y + 2Z = 16 -
- 2Y + 2Z = 4
-
2Y = - 2Z + 4
Y = Z – 2
………. v
Langkah
3 :
Subtitusikan
persamaan v kedalam persamaan iv untuk mendapatkan nilai salah satu variable.
-
2Y – 6Z = -20
-
2 (Z – 2 ) – 6Z = -20
-
2Z +4 – 6Z = -20
-
8Z = -24
Z = 3
Langkah
4 :
Substitusikan nilai variable Z kedalam persamaan iv untuk
medapatkan nilai variable lainnya.
Y = Z – 2
= 3 – 2
= 1
Langkah
5 :
Subtitusikan kedua nilai variable kedalam persamaan i, ii atau
iii. Pilih persamaan yang paling simple.
X + Y + 4Z = 20
X = -Y – 4Z + 20
= -1 – (4.3) +
20
= 7
Langkah
6 :
Tentukan
himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
D. Metode
Determinan
Determinan adalah suatu bilangan yang didapat dari suatu
proses dengan aturan tertentu terhadap matrix bujur sangkar.
Dengan menggunakan contoh seperti sebelumnya, kita selesikan
SPLTV dengan metode ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii Carilah
masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah 1:
Buat matrix dari
persamaan diatas.
Koefisien Var Hasil
/
1 3 2
\ / X
\ / 16 \
| 2 4
-2 | |
Y | = |
12 |
\
1 1 4
/ \ Z
/ \ 20 /
Langkah 2 :
|D| = (1x4x4)+(3x-2x1)+(2x2x1)-(2x4x1)
-(3x2x4)-(1x-2x1)
= 16
-
6 + 4 - 8 - 24 +2
= -16
Langkah 3 :
Cari Determinan
variable X, dengan mengganti kolom pertama dengan kolom hasil.
|Dx| = (16x4x4) + (3x-2x20) + (2x12x1)- (2x4x20) + (3x12x4) + (16x-2x1)
= 256 -
120 +24 -160 - 144 + 32
= -112
Langkah 4 :
X = |Dx| = - 112 = 7
|D| -16
Langkah 5 :
Cari
determinan variable Y, dengan mengganti kolom kedua dengan kolom hasil.
|Dy| = (1x12x4) + (16x-2x1) + (2x2x20) - (2x12x1) - (16x2x4) - (1x-2x20)
= 48 -
32 + 80
- 24 -
128 + 40
= -16
Langkah 6 :
Cari
nilai variable Y.
Y = |Dy| = -16 = 1
|D| -16
Langkah 7 :
Cari Determinan
variable Z, dengan mengganti kolom ketiga dengan kolom hasil.
= 80 +
36 + 32
- 64 - 120 - 12
Langkah 8 :
Cari
nilai variable Z.
Z = |Dz| = -46 = 3
|D| -16
Langkah 9 :
Tentukan
himpunan pernyelesiannya.
HP = {(7, 1, 3)}
E. Metode
Matrix.
Metode digunakan untuk menyederhanaan penyelesaian SPLTV.
Dengan metode ini kita tidak perlu menulis variable. Dalam matrix hanya
dituliskan koefisien variable dari masing-masing pesamaan.
Dengan menggunakan contoh seperti sebelumnya, kita selesikan
SPLTV dengan metode ini.
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
X + 3Y + 2Z = 16 ……….. i
2X + 4Y - 2Z = 12 ……….. ii
X + Y + 4Z = 20 ……….. iii
Carilah
masing-masing nilai X, Y dan Z?
Langkah
1 :
Ubah peramaan
dalam bentux matrix.
Langkah 2 :
Bentuklah matrix sedemikian rupa sehingga hanya ada satu
variable bernilai 1 sedang lainnya benilai 0. Ini berlaku untuk baris atau
kolom. Sehingga nilai 1 hanya ada satu baik dalam basris maupun kolom.
Sedangkan kolom hasil bebas.
Contoh hasil : 1 0 0
hasil , atau 0 1 0 hasil, atau 0 0 1 hasil.
Langkah 3 :
Agar variable X bernilai 0 pada baris kedua, Baris kedua harus dikurangi 2 kali baris pertama ditulis II – 2 I.
Agar variable X bernilai 0 pada baris kedua, Baris kedua harus dikurangi 2 kali baris pertama ditulis II – 2 I.
Langkah 4 :
Agar variable X
bernilai 0 pada baris ketiga, Baris ketiga harus dikurangi baris pertama
ditulis III – I.
Langkah 5 :
Langkah 5 :
Agar variable Y bernilai 0 pada baris kedua maka II
– III.
Langkah 6 :
Untuk
menyederhanakan matrix, maka dilakukan penyederhanaan nilai.
Langkah 7 :
Agar variable Y bernilai 0 pada baris pertama maka
I – 3 III.
Agar variable Y
brnilai 0 pada baris pertama maka I – 5 II.
Agar variable Z
bernilai 0 pada baris ketiga maka III + II
Langkah 9 :
Tentukan
himpunan pernyelesiannya.
Dari
matrik didapat X =7 (baris I), Z = 3 (baris II) dan Y = 1 (baris III)
HP = {(7, 1, 3)}
