Matematika SD : KPK dan FPB

Materi kali ini adalah mengenai Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Yang sering muncul dalam UN setiap tahun.  Oleh karenaya materi ini harus dikuasai dengan baik.

Untuk menguasainya diperlukan pemahaman juga mengenai beberapa hal seperti dibawah ini.

A.    Pengertian

        Bilangan Asli.

                Adalah bilangan yang dimulai dari 1, kemudian 2 dst. Jadi bilangan asli adalah 1, 2, 3, 

                4, …  dst

        Bilangan Prima.

                Adalah bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan oleh   angka 1.

                Contoh bilangan prima : 2, 3, 5, 7,  11, 13, 17, 19, 23, 29, … dst

        Kelipatan.

                Adalah pengalian suatu bilangan dengan bilangan asli.

                Contoh kelipatan dari bilangan 7 adalah :

           

                   Dalam tabel terlihat 14 adalah 7 x 2, 21 = 7 x 3, 42 = 7 x 6, dll.

        Faktor.

Adalah suatu bilangan asli yang merupakan pembagi dari suatu bilangan. Atau dengan
kata lain adalah hasil bagi suatu bilangan yang menghasilkan sisa 0.

Contoh 1 : Faktor dari 36

                  Supaya mudah kita buat dari angka terkecil dan lawannya terbesar, seperti
                  berikut.

Selesai karena habis itu akan berulang secara terbalik seperti 9 dan 4, 12 dan 3 dst.

Jadi Faktor 36 =  1,2,3,4, 6,9, 12, 16 dan 32

Contoh 2 :  Faktor 72

             Faktor 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 39 dan 72.

       

Tentu saja dalam prakteknya yang diperlukan hanya langkah ke 6 saja. Disini mas Admin hanya ingin mengajarkan cara untuk memudahkan pencarian faktor suatu bilangan.

Faktor Persekutuan.

        Adalah faktor-faktor yang sama yang terdapat dalam dua bilangan atau lebih.

        Contoh 3 : Faktor persekutuan dari 36 dan 72.

                              Faktor 36 = {1,2,3, 4, 6,9, 12, 18, 32}   

                              Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 39,72}

                              Faktor persekutuan 36 dan 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 ,18}

B.    Pohon Faktor.

Pohon faktor adalah suatu cara untuk mencari faktor suatu bilangan dengan cara membagi bilangan tersebut dengan bilangan asli atau bilangan prima. Pembagian dilakukan dengan bilangan asli/prima terkecil yang bisa dilakukan.
Berikut ini langkah-perlangkah mencari pohon faktor suatu bilangan.

     Contoh 4 : Faktor dari 36

                      Langkah 1.

                      Tentukan bilangan prima atau bilangan asli terkecil yang dapat membagi
                       bilangan yang dicari (36) dengan sisa 0. Maka akan didapat angka 2, bukan 1,
                       karena 1 tidak akan merubah angka 36. Ingat 36 : 1 = 36 (tetap). Karena 36 : 2,
                       maka disebelah kanannya ditulis lingkaran baru bersisi 18, hasil dari 36 : 2.

                       Langkah 2.
                       Langkah berikutnya perlu dicari faktor dari  18. Didapat angka 2 dan 9, karena
                     18 : 2 = 9. Lakukan langkah ini sampai didapat angka 1 (hasil pembagian bilangan
                      sama dengan 1).

                       Langkah 3.
                       Berikutnya dicari faktor dari 9. Karena faktor terkecil dari sembilan aadalah 3,
                      maka diambil akangka 3 bukan 2. Kenapa ? Karena jika 9 : 2 akan memiliki sisa 1                        bukan 0. Hasilnya adalah 9 : 3 = 3 sisanya 0, digambarkan sbb.

                        Langkah 4.
                       Selanjutnya kita cari faktor 3. Faktor terkecil dari 3 adalah 1. Langkah ini selesai,
                        karena sudah menghasilkan angka 1, dan tidak mungkin memiliki faktor lain.

Begitulah mencari faktor suatu bilangan dengan menggunakan pohon faktor. Jadi menurut pohon faktor, faktor 36 adalah 2 x 2 x 3 x 3.

C.    KPK

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah bilangan terkecil dari anggota himpunan persekutuan dua atau lebih bilangan.

Jadi jika ada anggota himpunan suatu bilangan yang merupakan faktor bilangan  tersebut  disekutukan dengan anggota himpunan suatu bilangan lainnya, maka akan didapat kelipatan persekutuan.

Contoh 5 : KPK dari 24,36 dan 72.

Untuk mencarinya terdapat beberapa metode atau cara seperti dibawah ini.

 BELOM SELESAI BRO / SIS !

a.  Tabel Kelipatan.
      KPK dari dua bilangan atau lebih dapat dicari dengan menggunakan tabel kelipatan.
      Mengenai kelipatan sendiri telah dijelaskan pada bagian A.

      Contoh : KPK dari 24, 36 dan 72 :

    Dalam tabel terlihat angka 72 yang berada pada setiap angka (kolom 24, 36, 72). Dengan
    kata lain 72 merupakan kelipatan dari semua bilangan tadi. Dan angka ini merupakan angka
    yang muncul pertama kali pada ketiga bilangan yang dicari. Ada kemungkinan terdapat
    bilangan lain selain 72 yang merupakan kelipatan ketiga bilangan.
    Sekali lagi karena KPK akan mencari kelipatan terkecil, maka yang diambil angka yang
     muncul pertama kali. Jadi dalam hal ini KPK dari 24, 36 dan 72 adalah 72.

b. Bilangan Prima Pembagi.

         Contoh : KPK dari 24, 36 dan 72 :

    KPK dapat dicari juga menggunakan faktor prima pembagi (Faktor Pembagi).
Faktor prima pembagi didapat dari bilangan prima yang dapat membagi habis ketiga 
bilangan yang dicari (24, 36 dan 72). Membagi habis artinya dengan sisa 0. Jika tidak 
ditemukan maka dapat hanya 1 atau 2 angka yang dapat dibagi habis seperti pada contoh. Tanda * menandakan bilangan tidak dapat dibagi habis, sedangkan targetnya semua hasil adalah 1. Seperti pada kolom terakhir. Penulisan ulang angka 1 di kolom berikutnya hanya menandakan bahwa bilangan tsb sudah mencapai titik akhir (tidak dapat dibagi lagi).
Untuk mencari KPKnya adalah dengan mengalikan semua faktor yang dapat membagi ketiga bilangan.

Jadi KPK 24, 36 dan 72 = 2 x 2 x 3 x  3 x 2

                                      = 2³ x  3²

                                           = 8 x 9

                         = 72            

c. Metode Pohon Faktor.
    Metode ini adalah metode yang paling sering digunakan dalam mencari KPK. Caranya sama
    seperti yang sudah dijelaskan dalam bagian B.  
    Contoh : KPK dari 24, 36 dan 72 :

      Faktor 24 = 2 x 2  x 2 x 3      = 2³ x 3            

Faktor 36 = 2 x 2 x 3 x3         = 2² x 3²

Faktor 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3  = 2³ x 3²

KPK 24, 36  dan 72 didapat dengan cara :

           ·         Menentukan faktor yang sama yang mucul diketiganya, yakni 2 dan 3.

           ·         Menentukan faktor yang sama tsb dengan pangkat terbesar, yakni 2³ dan 3²

           ·         Mengalikan hasilnya sebagai KPK.

KPK = 2³ dan 3²

        = 8 x 9

        = 72

D.  FPB

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) adalah bilangan terbesar dari anggota himpunan 

persekutuan dua atau lebih bilangan.

Contoh 5 : KPK dari 24, 36 dan 72.

a. Bilangan Prima Pembagi  

Sama seperti pada pencarian KPK, hanya saja disini yang diambil hanya faktor-faktor 

yang membagi seluruh bilangan tanpa sisa.

Jadi FBP 24, 36 dan 72 = 2 x 2 x 3

                                      = 2² x 3    

b. Metode Pohon Faktor
Untuk mencari FPB metode inilah yang paling sering digunakan. Caranya hma[pir sama 
seperti mencari KPK.

Faktor 24 = 2 x 2  x 2 x 3       = 2³ x 3                 

Faktor 36 = 2 x 2 x 3 x3         = 2² x 3²

Faktor 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3   = 2³ x 3²

FPB 24, 36  dan 72 didapat dengan cara :

     ·         Menentukan faktor yang sama yang mucul diketiganya, yakni 2 dan 3.

     ·         Menentukan faktor yang sama tsb dengan pangkat terkecil, yakni 2² dan 3¹

     ·         Mengalikan hasilnya sebagai KPK.

FPB = 2² dan 3¹

          = 4 x 3

          = 12

        

Demikianlah bahasan materi tentang KPK dan FPB. Materi ini perlu dikuasai oleh murid SD/MI karena dari tgahun ketahun selalu  keluar dalam UN. Ini tidak salah karena memang merupakan materi  dasar.

Sekali lagu Mas Admin ucapkan selamat berlatih, semoga materi kali ini bermanfaat. Nantikan materi lainnya dikesempatan berikutnya.

Salam,

Mas Admin.