Matematika SMA : Batasan Umum Fungsi Geniometri

Perhatikan Gambar.1.

Gambar.1.

Pada gambar terlihat sebuah lingkaran yang terbagi empat bagian oleh sumbu koordinat. Setiap bagian tersebut dinamakan kuadran. Terlihat pusat lingkaran adalah titik O, juga terlihat sumbu X dan sumbu Y.

Untuk sumbu X di sebelah kanan pusat lingkaran dinamai sumbu X⁺, sedanghkan sebelah kiri pusat lingkaran dinamai sumbu X^-.

Untuk sumbu Y disebelah atas pusat lingkaran dinamai sumbu Y⁺, sedangkan sebelah bawah pusat lingkaran dinamai sumbu X^-.  Lebih rinci akan didapatkan :

Daerah X⁺OY⁺ disebut kuadran pertama.

Daerah X^-OY⁺ disebut kuadran kedua.

Daerah X^-OY^- disebut kuadran ketiga.

Daerah X⁺OY^- disebut kuadran keempat.

Besar sudut positif diukur  berlawanan arah putaran jam, dan selalu dihitung mulai dari sumbu X⁺. Secara jelasnya perhatikan gambar.2 dibawah ini.

                                                     Gambar.2.(a)                                                                                            

                                                        Gambar.2.(b)

                                                                             Gambar.2.(c)

                                                                             

                                                                             Gambar.2.(d) 

Pada gambar.2 kita dapati :

Besar sudut kuadran pertama adalah antara 0^o dan 90^o.

Besar sudut kuadran kedua adalah antara 90^o dan 180^o.

Besar sudut kuadran ketiga adalah antara 180^o dan 270^o.

Besar sudut kuadran keempat  adalah antara 270^o dan 360^o.

Hal perlu dipahami untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut yang berpusat di titik O dan berujung di tritik (x, y) serta berjari jari  

 adalah sbb :

 

Sin θ = y/r, perbandingan antara ordinat dengan jari-jarinya.

Cos θ= x/r, perbandingan antara absis dengan jari-jarinya.

Tg θ   = y/x, perbandingan antara ordinat dan absisnya.

Nilai r selalu positif , sedangkan untuk x dan y kita buat batasan sbb :

Pada OX⁺         = nilai x positif .

Pada OX^-          = nilai x negatif.

Di atas X^-X⁺      = nilai y positif.

Dibawah X^-X⁺   = nilai y negatif.

A.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT KUADRAN I.

Gambar.3

Pada Gambar.3 terlihat x<0 dan y<0, jadi :

        Cos α < 0                              Tg α  < 0             

        Sin α < 0                               Ctg α < 0

Terlihat juga

        Sin β  = x/r        dan    Sin α  = y/r                 

        Cos β = y/r                 Cos α = x/r         

        Ctg β  = y/x                Tg α    = y/x

Maka didapat  :

        Sin α = Cos β                      Cos α = Sin β                                Tg α  = Ctg β

                 = Cos (90^o - α)                     = Sin (90^o - α)                              = Ctg (90^o - α)

                 = Cos (π/2 - α)                     = Sin (π/2 - α)                              = Ctg (π/2 - α)

Karena sudut α berada pada kuadran pertama, maka 0^o < α <90^o serta 

Persamaan penting yang didapat pada kuadran pertama adalah :

        Sin α    = Cos (90^o - α)          

        Cos α   = Sin (90^o - α)           

        Tg in α = Ctg (90^o - α)

B.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT KUADRAN II.

Gambar.4

Pada gambar.3 terlihat titik A(x,y) dan titik B(x’,y’). Titik B merupakan proyeksi dari titik A. 

Besarnya sudut α yang berada pada kuadran kedua adalah α = 180^o – α.

Terlihat juga hubungan

        x = -x’

        y = y’

                    Sin α  = y’/r                           Cos α = x’/r                       Tg α = y’/x’

                              =  y/r                                    = -x/r                                = y/-x

        Sin (180^o - α) =  y/r            Cos (180^o - α) = -x/r           Tg (180^o - α) = - y/x                         

                              = Sin α                                 = -Cos α                           = -Tg α

       Karena sudut α berada pada kuadran kedua, maka 90^o < α <180^o serta 

Persamaan penting yang didapat pada kuadran kedua adalah :

         Sin (180^o - α) = Sin α             

        Cos (180^o - α) = - Cos α               

                Tg (180^o - α)   =  - Tg α

C.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT KUADRAN III.

Gambar.5.

Dalam gambar.5 terlihat OA berada dalam kuadran ketiga. O adalah sebuah titik pusat lingkaran, dan A adalah sebuah titik di kuadran ketiga.  Titik B adalah proyeksi titik A, dimana garis AB adalah sebuah diameter lingkaran.Misalkan <XOB = α, maka <XOA = 180^o+α. Kita juga dapati hubungan :

        x = -x’

        y = -y’

                      Sin α = y’/r                  Cos α  = x’/r                                 Tg α = y’/x’

                              = -y/r                              = -x/r                                         = -y/-x = y/r

        Sin (180^o+α) = -y/r         Cos (180^o+α) = -x/r                   Tg (180^o +α) = y/r

                             = - Sin α                          = - Cos α                                  = Tg α

Karena sudut α berada pada kuadran ketiga, maka 180^o < α < 270^o serta

     Persamaan penting yang didapat pada kuadran ketiga adalah :

         Sin (180^o + α)  = -Sin α                                     Sin (π + α) = -Sin α

        Cos (180^o + α)  = - Cos α                 atau         Cos (π + α) = - Cos α

        Tg (180^o + α)    = Tg α                                         Tg (π + α) = Tg α

D.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT KUADRAN IV.

                                                         Gambar.6.

Pada gambar.6 terlihat titik B adalah proyeksi dari titik A. Terlihat juga <XOA = <XOB, maka kita dapati hubungan

        x = x’

        y = -y’

       

                    Sin α  = y’/r                          Cos α = x’/r                              Tg α  = y’/x’

                              = -y/r                                    = x/r                                        = -y/x

        Sin (360^o - α) = -y/r            Cos (360^o - α) = x/r                   Tg (360^o - α) = -y/x

                              = - Sin α                               = Cos α                                   = -Tg α

Karena sudut α berada pada kuadran keempat, maka 270^o < α < 360^o serta

     Persamaan penting yang didapat pada kuadran ketiga adalah :

        Sin (360^o - α)  = -Sin α                                    Sin (2π  - α)  = -Sin α

        Cos (360^o - α) = Cos α                 atau           Cos (2π  - α) = Cos α

        Tg (360^o - α)   = -Tg α                                      Tg (2π  - α) = -Tg α

E.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT NEGATIF

Sudut negatif (-α), artinya besar sudut diukur searah putaran jarum jam.

                                                         Gambar.7.

Pada gambar.7 terlihat titik A dan titik B yang merupakan proyeksi dari titik A. Dari gambar diatas didapati hubungan :

        x = x’

        y = -y’

        Sin (–α) = y’/r                     Cos (–α) = x’/r                         Tg (–α) = y’/x’

                     = -y/r                                    = x/r                                       = -y/x

                     = -Sin α                                = Cos α                                 = - Tg α

Jadi untuk setiap α didapat hubungan

        Sin (–α)   = - Sin α

        Cos (–α) = Cos α                      

        Tg (–α)   = - Tg α

F.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT YANG LEBIH DARI 360^O

Gambar.8.

    Pada gambar.7 terlihat besar sudut satu putarran adalah 360^o, jika besar sudut lebih besar dari 360^o, misalkan (360^o + α)maka besar sudut askan kembali ke α. Dengan demikian akan didapat hubungan :

        Sin (k. 360^o + α)   = Sin α                                                Sin (k.  2π + α)   = Sin α

        Cos (k. 360^o + α) = Cos α               atau                           Cos (k.  2π + α) = Cos α

        Tg (k. 360^o + α)    = Tg α                                                Tg (k.  2π + α)     = Tan α

           Dimana k adalah bilangan bualt positif.

   

G.   KESIMPULAN

   Hal-hal yang perlu diingat untuk perbandingan sudut dalm trigonometri adalah di kuadran sudut berada, barulah dapat ditentukan besar sudutnya apakah positif atau negatif. Berikut ini hal-hal yang perlu diingat.

        Detailnya adalah

Demikian bahasan kali ini. Semoga bermanfaat.

Salam,

Mas Admin.