Media Pembelajaran Mandiri: July 2020

A. Pengertian

Limit artinya mendekati atau menuju kesesuatu.

Limit suatu fungsi dengan pendekatan x͢͢ → a, ditulis sebagai

lim f(x) = L

x ->a

Dimana x -> a : x mendekati a

f(x) : nilai limit

B. Metode Perhitungan Limit

Ada beberapa cara untuk menghitung limit, yakni :

B1. Subtitusi

Dilakukan dengan melakukan subtitusi langsung x=a sehingga diperolah nila f(a).

Contoh 1 :

Metode subtitusi tidak boleh dilakukan jika menghasilkan nilai ∞, 0/0, x/0, ∞/∞.

B2. Memfaktorkan
Jika dengan cara langsung dihasilkan nilai 0/0 atau nilai penyebutnya 0, maka bentuk limit
harus difaktorkan lebih dahulu.

Contoh 2 :

Maka bentuk limit harus diubah dahulu menjadi

B3. Mengalikan Dengan Sekawan

Biasa digunakan dalam bentuk pembagian limit atau bentuk akar dimana hasilnya berbentuk 0/0.

Contoh 3 :

B4. Menggunakan Dalil L'Hospital

Digunakan untuk menyelesaikan limit jika menggunakan subtitusi langsung akan manghasilkan nilai 0/0. Pada Dalil ini persamaan aljabar akan diubah menggunakan turunan pertama dan turunan kedua.

Contoh 4 :

B5. Membagi Dengan Pangkat Tertinggi

Biasa digunakan pada Limit bentuk tak hingga (∞). Penjelasan dan contoh dapat dilihat pada bagian D.

B6. Mengali Dengan Faktor Lawan

Biasa digunakan pada Limit bentuk tak hingga (∞) yang jika dengan cara subtitusi langsung menghasilkan nilai ∞ - ∞. Penjelasan dan contoh dapat dilihat pada bagian D.

C. Limit fungsi Aljabar Pada x->a
C1. Lim k = k ; dimana k = konstanta

^x->a

Contoh 5 :

Lim 7 = 7

^x->a

C2. Lim x = a

^x->a

Contoh 6 :

Lim x = 3

^x->3

C3. Lim f(x) = a

^x->a

Contoh 7 :

Lim f(2x + 3) = (2 . 4) + 3

^x->4= 8 + 3

= 11

C4. Lim { f(x) ± g(x) } = Lim f(x) ± g(x)

^{x->a x->a} ^x->a

Contoh 8 :

Lim (3x² – 2x +5) = Lim 3x² – Lim 2x + Lim 5

^{x->1 x->1} ^{x->1 x->1}

= 3(1)² - 2(1) + 5

= 3 -2 + 5

= 6

C5. Lim { f(x) . g(x) } = Lim f(x) . g(x)

^{x->a x->a x->a}

Contoh 9 :

C6. Lim { f(x) / g(x) } = Lim f(x) / g(x) ; dimana g(x) ≠ 0

^{x->a x->a x->a}

Contoh 10 :

C7. Lim f(x) = Lim f(x) / Lim g(x)
^x->ag(x) ^{x->a x->a}

Syarat g(x) ≠ 0, jika 0, atau hasil limitnya 0/0 maka harus dikalikan dengan sekawan.
Contoh 11 :

D. Limit Fungsi Aljabar Mendekati Takhingga

Nilai limit tak hingga dapat diselesaikan dengan membagi dengan pangkat tetinggi dan mengalikan dengan faktor lawan.

D1. Membagi Dengan Pangkat Tertinggi

Limit bentuk seperti ini dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan xⁿ, dimana n merupakan pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x).

Rumus dasar bentuk limit takhingga adalah

Dimana n bilangan bulat positif.

Akan menimbulkan 4 kemungkinan hasil

a/p jika m = n

∞ jika m > n dan a positif

-∞ jika m > n dan a negatif

0 jika m < n

Contoh 12 :

Derajat f(x) = g(x).

Lim 6x³ – 4x² + x +3 = 6 = -3

^x->^∞-2x³ + 3x² + 4x +8 -2

Derajat f(x) > g(x) dan koefisien tertinggi f(x) adalah +2.

Lim 2x² + 3x – 1 = ∞

^x->^∞x + 2

Derajat f(x) > g(x) dan koefisien tertinggi f(x) adalah -4.

Lim 4 - 3x + 2x²– 4x³ = -∞

^x->^∞x² + 4x - 2

Derajat f(x) < g(x).

Lim x³- 3x² + 4x+ 1 = 0

^x->^∞x⁴ – x² + 3x + 5

Contoh 13 :

Lim f(x) + g(x) = ∞

^x->^∞

Contoh 14 :

Lim 3x² – x + 5 = Lim 3x² – x + 5 . 1

^x->^∞x² +2x –1 ^x->^∞x² + 2x - 1

= Lim 3x² – x + 5 1/x²

^x->^∞x² + 2x – 1 1/x²

= Lim 3 – 1/x + 5/x²

^x->^∞1 + 2/x –1/x²

= 3 – 0 + 0

1 + 0 –0

= 3/1
= 3

D2. Mengalikan dengan faktor lawan

Limit bentuk seperti ini dapat diselesaikan menggunakan mengalikan dengan faktor lawan. Hanya digunakan untuk bentuk akar kuadrat.

Akan menimbulkan 4 kemungkinan hasil

Contoh 15 :

Contoh 16 :

Contoh 17 :

Contoh 18 :

Menggunakan mengalikan dengan faktor lawan.

E. Limit Fungsi Aljabar Bentuk e

Bantuk umum Limit bentuk e adalah

Contoh 19 :

Lim [1 + 1 ]^x = Lim [1 + 1 ]^{x . 1}

^x->^∞ 2x ^x->^∞ 2x

= Lim [1 + 1 ]^{x . 2/2}

^x->^∞ 2x

= Lim {[1 + 1 ]2^x}^1/2

^x->^∞ 2x

= e^1/2

Contoh 20 :

F. Limit Fungsi Aljabar Bentuk ln

Bentuk umum fungsi ln adalah :

Contoh 21 :

Contoh 22 :

G. Limit Fungsi Trigonometri

Dalam limit fungsi trigonometri rumus dasarnya selalu menyangkut mengenail sin dan tg(tan), tidak ada yang mengenai cos. Hal ini dikarenakan Cos tidak pernah menimbulkan masalah, tidak pernah menghasikan nilai 0 atau tak hingga (). Ambil contah limit mendekati 0, maka Cos 0 akan bernilai 1, bilangan apapun jika dibagi 1 akan manghasilkan bilangan itu sendiri. Jadi Cos bukanlah pembuat masalah, oleh karenamya tidak ada rumus dasar dari limit mengenai Cos. Tidak dengan Sin dan Tan, contoh Sin 0 = 1 dan Tan 0 =0. Ini jika persamaan limit berbentuk pembagian akan menghasilkan n/0 yang tikdak boleh langsung dikerjakan, persamaan limit harus diubah bentuknya dahulu tanpa merubah soal. Ingat merubah bentuk soal bukan merubah soal. Ini yang dilakukan dari awal kita nenbahas limit bukan.

Jika dalam soal kita menemukan bentuk Cos, maka Cos harus diubah menjadi Sin dahualu. Satu lagi yang perlu diingat bahwa dalam fungsi trigonometri Sin dan Tan dapat dicoret selama besar sudutnya 0.

Untuk metode penyelesainnya masih sama dengan metode penyelesaian yang ada pada limit fungsi aljabar, seperti subtitusi langsung, dikalikan dengan sekawan dll .

Untuk mengerjakan Limit fungsi Trigonometri ada rumus Trigonometri yang perlu diiingat.

Sudut Istimewa