A. Pengertian.
Fungsi
atau pemetaan adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam
himpunan daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu
himpunan kedua (Kodomain).
Himpunan
nilai yang didapat dari relasi tersebut dinamakan daerah hasil (Range).
B. Fungsi Komposisi.
Adalah penggabungan operasi
pada dua buah fungsi sehingga menghasilkan funsi baru.
Operasi untuk fungsi komposisi
biasa dinotasikan dengan huruf atau symbol “○”.
Contoh 1 :
Fungsi baru yang dapat dibentuk daRi
f(x) dan g(x)
(f ○ g)(x) = g di,masukan ke dalam f
(g ○ f)(x) = f di,masukan ke dalam g
f ○ g dibaca fungsi f bundaran atau
kompisisi g, fungsi g diselesaikan
dahulu kemudian fungsi f.
Fungsi
Komposisi disebut juga Fungsi Majemuk dapat dibentuk dengan menggunakan aturan
seperti pada gambar diatas.
Himpunan B ditentukan menggunakan rumus
y= f(x)
Himpunan C ditentukan menggunakan rumus
y = g(x)
Sehingga hasil h(x) = (g o f)(x) =
g(f(x))
1. Sifat-sifat
Operasi Fungsi Komposisi :
a. Tidak Berlaku Komutatif
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
b. Bersifat
Asosiatif
[f o (g o h)(x)] = [ (f o g) o
h(x) ]
c. Untuk
fungsi Identitas berlaku
(f o I)(x) = (I o f )(x) = f(x)
Contoh 2 :
Diketahui f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 3x.
Berapa Nilai dari (f o g)(2) ?
Jawaban :
(f o g)(2) = f(g(x))
= f(3x)
= (3.3x+4)
= 9x + 4
= (9 . 2) + 4
= 18 + 4
= 22
Contoh 3 :
Diketahui fungsi komposisi (g o f)(x) = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 16 + 13 dan g(x)= x2 + 4. Tentukan fungsi f(x) ?
Jawaban :
(g o f)(x) = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 13
(g(f(x))) = 4x4
– 4x3 + 13 x2 – 6x + 13
Misal f(x) = ax2 +
bx + c inggat g(x) berderajat
2, sedang g o f)(x) berderajat 4
g(f(x)) = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 13
g(ax2
+ bx + c) = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 13
(x)2+4 = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 13
(ax2 + bx + c)2+4 = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 13
(ax2 + bx + c) (ax2
+ bx + c)+4 = 4x4 – 4x3 + 13 x2
– 6x + 13
a2x4+abx3+acx2+abx3+b2x2+bcx+acx2+bcx+(c2+4) = 4x4
– 4x3 + 13 x2 – 6x + 13
a2x4+2abx3+2acx2 + b2x2+2bcx +(c2+4) = 4x4 – 4x3 + 13 x2 – 6x + 13
a2x4+2abx3+
(b2+2ac)x2+2bcx +(c2+4) = 4x4 –
4x3 + 13 x2 – 6x + 13
Menggunakan sifat kesamaan
sukubanyak, didapat :
a2x4 = 4x4
2abx3 = – 4x3
(b2+2ac)x2
= 13
x2
2bcx = – 6x
c2+4 = 13
Dari Persamaan:
a2x4 = 4x4
a2 =
4
a = -2 dan a = 2
Untuk a = - 2
2abx3 = –
4x3 2bcx
= -6x
2ab = -4 2bc = -6
2 .-2 b = -4 2.1.c = -6
-4. b = -4 2c = -6
b = 1 c = -3
Jadi fungsi f(x) = (ax2 + bx + c)
= (-2x2+1.x-3)
= -2x+x-3
Untuk a = 2
2abx3 = –
4x3 2bcx
= -6x
2ab = -4 2bc = -6
2 .2 b = -4 2.-1.c = -6
4. b = -4
-2c = -6
b = -1 c = 3
Jadi fungsi f(x) = (ax2 + bx + c)
= (2x2--1.x+3)
= 2x2
-x+3
2. Cara Lain Menyelesaikan Fungsi Komposisi .
Untuk menyelesaikan fungsi
komposisi dapat menggunakan metode fungsi kiri dan fungsi kanan. Untuk lebih memahami
perhatikan penjelasan pada contoh berikut!
Fungsi komposisi (f o g)(x) 4x + 6 dan x = 2x-4. Tentukan fungsi g(x)!
f kita sebut fungsi
sebelah kanan,
sedang g kita sebut fungsi sebelah kiri. Ditanyakan fungsi sebelah
kiri.
Ketentuan untuk menyelesaiakn
dengan cara ini adaalh sbb :
a. Jika yang ditanyakan fungsi sebelah kiri,
maka fungsi komposisi dapat diselesaikan dengan operasi perhitungan seperti
biasa.
b. Jika yang ditanyakan fungsi sebelah kanan,
maka fungsi komposisi harus dimisalkan terlebih dahulu dengan suatu variabel.
Contoh 4 :
Fungsi komposisi (f o g)(x) = 4x + 6 dan x = 2x-4. Tentukan fungsi g(x)!
Jawaban :
(f
o g)(x) = 4x + 6
f(g(x)) = 4x + 6
2
g(x) - 4 = 4x + 6
2 g(x) = 4x +6 +4
g(x) = (4x + 10)/2
= 2x + 5
Contoh 5 :
Jika
f(x) = x - 3 dan (g o f)(x) = (x + 3)2. Tentukan nilai g(x)?
Jawaban
:
(g
o f)(x) = (x + 3)2
g(f(x)) = (x + 3)2
g(x - 3) = (x + 3)2
Misalkan
z = (x - 3) maka x = z+3
g(x - 3) = (x + 3)2
g(z) = [(z+3) + 3]2
= (z+6)2
= z2 + 12z + 36
g(x) = x2 + 12x + 36
C. Fungsi Invers.
Adalah
fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya dan dinotasikan dengan tanda
pangkat “-1,” contoh f-1(x) dibaca invers dari fungsi f(x).
Hasil
invers sebuah fungsi belum tentu berupa fungsi, dapat saja merupakan sebuah
hubungan atau relasi biasa. Jika Invers sebuah fungsi berupa suatu fungsi juga,
maka invers seperti ini dinamakan fungsi invers.
Contoh 6 :
Diketahui sebuah fungsi f(x) = 1 dan fungsi g(x) = 2x + 1
x -2 x
Selidiki apakah g(x) merupakan fungsi
invers bagi f(x)?
Jawaban : 1 .
(g o f)(x) = g(f(x)) = g( 1 ) = 2 ( x-2) + 1
x- 2 1 .
x-2
2+x-2
= x-2 = x = I
(x) .
1 .
x-2
(f o g )(x) = f(g(x)) = f(2x+1) = 1 .
x (2x+1)-2
x
=
1 . = x = I (x)
2x+1-2x
x
Karena
(g o f)(x) = (f o g)(x) = I(x), maka g(x) adalah fungsi invers dari f(x)
Untuk memeriksa apakah sebuah
fungsi merupakan fungsi invers dari fungsi f maka cukup ditunjukan bahwa :
Contoh 9 :
(g o f)(x) = x
= I(x) dan (f o g)(x) = x = I(x)
Rumus-rumus untuk mencari penyelesaian Fungsi Invers :
Secara umum, invers suatu fungsi dapat
ditentukan dengan langkah sebagai berikut :
a. Dimisalkan f(x)=y.
b. Dinyatakan x
sebagai fungsi y (dinyatakan dalam variabel y).
c. Dinyatakan x
sebagai fungsi f-1(y).
d. Diubah pada f-1(y)menjadi x sehingga
didapat f-1(x).
C1. Invers Fungsi Bentuk
Linier.
Fungsi Linear adalah sebuah fungsi yang
memiliki dua atau lebih variabel yang nilainya saling mempengaruhi serta
pangkat tertingginya dari variabel bebasnya adalah 1.
Fungsi berbentuk linear : f(x) = ax+b
Inver fungsinya : f-1(x) = (x - b)
a
Contoh 7 :
Tentukan invers dari fungsi f(x) = 4x + 7 ?
Jawaban :
Menggunakan cara biasa.
f(x) = 4x + 7
y = 4x+7
y
– 7 = 4x
4x = y - 7
x = (y - 7)/4
f-1(x) = (x - 7)/4
Menggunakan cara praktis
Diketahui a = 4 dan b =7
f-1(x) = (x -b)/a
= (x – 7)/4
C2. Invers Fungsi Bentuk Pecahan.
Seperti Fungsi Linear, maka fungsi pecahan ini
pangkat tertingginya juga 1. Dari
bentuknya maka fungsi pecahan ini dapat disebut sebagai fungsi pembagian dari
dua bentuk linear.
Fungsi bentuk pecahan : f(x)
= ax + b
cx
+ d
Invers fungsinya : f-1(x)
= -dx + b
cx – a
Contoh 8 :
Tentukan invers dari fungsi f(x) = (2x + 5)/ (3x - 2)!
Jawaban :
Menggunakan cara biasa.
f(x) = (2x
+ 5)/(3x - 2)
y = (2x + 5)/(3x - 2)
y(3x-2) = (2x + 5)
3xy - 2y = 2x + 5
3xy – 2x = 2y
+ 5
x(3y-2) = 2y + 5
x = 2y + 5
3y
- 2
f-1(x) = 2x + 5
3x
– 2
Menggunakan cara praktis
Diketahui a = 2 ; b =5; c = 3 dan d = -2
f-1(x)
= -dx + b
cx - a
= -(-2)x + 5
3x - 2
= 2x + 5
3x
- 2
C3. Invers Fungsi Bentuk Akar Pangkat
Fungsi ini mengandung akar pangkat sebesar
pangkat n, sering juga ditulis dalam bentuk pangkat pecahan.
Contoh 9 :
Tentukan Invers fungdi f(x) =(3x + 7)1/6 !
Menggunakan cara biasa.
f(x) = (3x +
7)1/6
y = (3x +
7)1/6
y6 = (3x +
7)
3x = y6
- 7
x = (y6
- 7)/3
f-1(X)= (x6 - 7)/3
Menggunakan cara praktis
f(x) = (3x + 7)1/6
=
Diketahui n = 6; a = 3 dan b = 7
f-1(x) = (xn - b)/a
= (x6 - 7)/3
C4. Invers Fungsi Bentuk Exponensial.
Merupakan fungsi yang mengandung bilangan
berpangkat, Invers bentuk ini adalah fungsi dalam bentuk logaritma.
Fungsi bentuk exponent : f(x) = anx
Invers fungsinya : f-1(x)
= aLog x1/n
Contoh 10 :
Jika sebuah fungsi f(x) = 54x, maka
tentukanlah invers fungsinya !
Jawaban :
Menggunakan cara biasa.
f(x) = 54x
y = 54x
log y =
log 54x
log y = 4x log 5
4x = log y / log 5
4x = 5log y
x = (5log
y)/4
= 5log y1/4
f-1(x) = 5log x1/4
Menggunakan cara praktis
Diketahui a = 5; n =4
f-1(x) = alog x1/n
= 5log x1/4
C5. Invers Untuk Fungsi Kuadrat.
Fungsi kuadrat ditandai dengan
variabel yang memiliki pangkat kuadrat.
Bentuk umum fungsi kuadrat :
f(x) = ax2 + bc + c
Invers fungsinya : f-1(x) = ±
– b/2a
Conbtoh 11 :
Tentukan invers dari fungsi f(x) = x2 + 4x + 4!
Jawaban :
Menggunakan cara biasa.
f(x) = x2 + 4x +
4
y = x2 + 4x + 4
y -8 = x2 + 4x + 4
– 8
y = x2 + 4x + 4 – 8 + 8
y = (x + 2)2 - 8
y+8 = (x + 2)2
(y+8)1/2 = [(x + 2)2]1/2
x =
-
2
Menggunakan cara praktis
Diketahui a = 1; b = 4 dan c = -4
Nilai Deskriminan D = b2 – 4ac
= 42- 4(1 . -4)
= 16 + 16
=
32
D. Soal-soal.
01. Diketahui f(x) = 2x +1 dan g(x) = 3x2. Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x). Selidiki hasilnya ?
02. Fungsi f(x) = 3x + 6. Tentukan rumus f-1(x)?
03. Fungsi f(x) = 27x3. Tentukan rumus f-1(x)?
04. Tentukan invers dari fungsi f(x) = 52x+3
05. Tentukan invers fungsi f(x) =2log (x+2) + 4 !
(52, -47)}. Berapakah Hasil dari (h o g o f)(5) ?
Jawaban :
07. Tentukan (f o g)-1(x) jika diketahui f-1(x) = (x - 1)/5 dan g-1(x) = (3 - x)/2 ?
09. Carilah fungsi (g o f)(x) jika diketahui f(x) = 2x -3 dan g(x) = 4x -5 !
10. Jika diketahui g(x) = 2x -4 dan (f o g)(x) = 7x + 3. Carilah nilai untuk f(2)?
5x - 9
11. UN Tahun 2013
Diketahui f(x) = x2- 4x + 2 dan g(x) = 3x +5. Carilah fungsi komposisi (f o g)(x)?
13. Carilah nilai (g-1 o f)-1(x + 10), jika diketahui f-1(x) = 5x – 1 dan g(x) = 2x + 1 !
14. Jika diketahui f(x) = 2x – 1 dan (g o f)(x) = 4x2 – 10x + 5, carilah nilai g(-1) !
Jika g(x -2) = 2x - 3 dan (f o g)(x - 2 ) = 4x2 - 8x +3, maka berapakah f(-3)?
18. Jika f(x) = 2p + 8 dan g(x) = 3x -6, serta (f o g)(x) = (g o h)(x), maka nilai p yang
memenuhi adalah ......... ?
19. Tentukan invers dari y = (x + 3)/(4x + 1) dengan x ≠ - ¼. Gunakanlah cara biasa dan cara praktis
yang kamu ketahui?
20. Diketahui (f)(x) = x2 - 4 dan g(x) = x + 2. Carilah nilai (f/g)(x) ?
21. UN 2004
22. UMPTN
24. SIMAK UI Tahun 2012
25. UMPTN
01. Diketahui f(x) = 2x +1 dan g(x) = 3x2. Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x). Selidiki hasilnya ?
02. Fungsi f(x) = 3x + 6. Tentukan rumus f-1(x)?
03. Fungsi f(x) = 27x3. Tentukan rumus f-1(x)?
05. Tentukan invers fungsi f(x) =2log (x+2) + 4 !
(52, -47)}. Berapakah Hasil dari (h o g o f)(5) ?
Jawaban :
07. Tentukan (f o g)-1(x) jika diketahui f-1(x) = (x - 1)/5 dan g-1(x) = (3 - x)/2 ?
Diketahui
fungsi f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 -3. Maka Fungsi komposisi (g o f)(x) ?
10. Jika diketahui g(x) = 2x -4 dan (f o g)(x) = 7x + 3. Carilah nilai untuk f(2)?
5x - 9
11. UN Tahun 2013
Diketahui f(x) = x2- 4x + 2 dan g(x) = 3x +5. Carilah fungsi komposisi (f o g)(x)?
13. Carilah nilai (g-1 o f)-1(x + 10), jika diketahui f-1(x) = 5x – 1 dan g(x) = 2x + 1 !
14. Jika diketahui f(x) = 2x – 1 dan (g o f)(x) = 4x2 – 10x + 5, carilah nilai g(-1) !
Jika g(x -2) = 2x - 3 dan (f o g)(x - 2 ) = 4x2 - 8x +3, maka berapakah f(-3)?
memenuhi adalah ......... ?
19. Tentukan invers dari y = (x + 3)/(4x + 1) dengan x ≠ - ¼. Gunakanlah cara biasa dan cara praktis
yang kamu ketahui?
20. Diketahui (f)(x) = x2 - 4 dan g(x) = x + 2. Carilah nilai (f/g)(x) ?
21. UN 2004
Tentukan
nilai g(x - 3) ?
Jawaban :
Jawaban :
Diketahui f-1(4x-5) = 3x
-1 dan (f-1 o g)(5) = p2 + 2p -10. Carilah rata-rata dari
nilai p ?
25. UMPTN
Carilah Invers dari f(x) = (1 – x3)⅕
+ 2?
Salam,Mas Admin
No comments:
Post a Comment