Matematika SMA : Lingkaran

A.  Definisi
    Lingkaran adalah Suatu kumpulan titik-titik sedemikian rupa sehingga memiliki jarak yang sama dengan suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut sebagai titik pusat atau titik pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama antara suatu titik dengan titik pusat dinamakan sebagai jari-jari.

Gambar.1

Pada gambar.1 terlihat sebuah lingkaran yang terbentuk dari kumpulan titik-titik yang membentuk garis. Bagian titik-titik tersebut terlihati seperti titik A, B, C dan D  yang berjarak sama ketitik tengah O yang merupakan titik pusat. Jarak OA, OB, OC dan OD adalah sama yakni r yang merupakan jari-jari lingkaran

B. Persamaan Lingkaran

      a. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) berjari jari r

                                                                   Gambar.2

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0 ) dan berjari-jari r adalah :

                          x² + y² = r²

Pada gambar.2 terlihat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari r. Terlihat pula tiga buah titik yang letaknya satu garis (sejajar) yakni titik A, B dan C. Terlihat juga Panjang OB sam dengan r.

Menggunakan jari-jari lingkaran dDengan mudah dapat menentukan letak suatu titik pada lingkaran, seperti :

·         Titik A berada di dalam lingkaran

·         Titik B berada pada lingkaran

·         Titik C berada di luar lingkaran

               Jadi  posisi titik A(a, b)terhadap lingkaran yang berpusat di O(0, 0)dan berjari-jari r adalah :

·         Terletak Dalam Lingkaran  Jika x² + y² < r²

·         Terletak Pada   Lingkaran   Jika x² + y² = r²

·         Terletak di Luar  Lingkaran Jika x² + y² > r²

        b.  Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b) berjari jari r

          Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b) berjari jari r adalah

                          (x-a)² + (y –b)² = r²

       

           Posisi titik R(m, n) terhadap lingkaran adalah :

·         Terletak Dalam Lingkaran  Jika (m-a)² + (n-b)² < r²

·         Terletak Pada   Lingkaran   Jika (m-a)² + (n-b)² = r²

·         Terletak di Luar  Lingkaran Jika (m-a)² + (n-b)² > r²

        c.  Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
            Dengan menguraikan persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r akan di
         dapat persamaan umum persamaan lingkaran.

                                (x-a)² + (y –b)²       = r²

                          (x-a)² + (y –b)²  - r²      = 0                               

                         x² – 2ax +a² +y² -2by + b² - r²     = 0         

                         x² + y² – 2ax -2by +a² + b² - r²     = 0     Misal : A =-2a,   B =-2b dan C= a²+b²-r²

                                    x² + y²  + Ax + By  + C     = 0               

A    = -2a                        B   =-2b                    C   = a²+b²-r²

½ A = -a                      ½ B  = -b                     r²   = a²+b² - C

    a = -½ A                      b   = -½ B                r²   = (-½ A)² + (-½ B)² - C

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran menjadi

x² + y²  + Ax + By  + C = 0                                             

Titik Pusat P (a, b)

                    P (-½ A, -½ B)                                

                     Jari-jari
                             r² = (-½ A)² + (-½ B)² - C

      

Contoh Soal 1 :

Sebuah lingkaran berpusat di titik P(5,-3) dan melalui titik Q(3,2), maka persamaan lingkarannya adalah ……….

Jawaban :

          r² = jarak (PQ)²

       = (x-a)² + (y –b)²

       = (3-5)² + (2 + 3)²

       = -2² +5²

       = 4 +25

       = 29

                   (x-a)² + (y –b)²   = r²

                  (x-5)² + (y + 3)²   = 29

x² – 10x +25 +y² +6y + 9 -29 = 0

         x² + y² – 10x + 6y + 5   = 0           

Contoh Soal 2 :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 5) dan berjari-jari 7 adalah ……..

Jawaban :

                      (x-a)² + (y –b)²   = r²

                       (x-2)² + (y –5)²  = 7²

      x² -4x + 4+ y² -10y + 25 - 49   = 0

                 x² + y² - 4x - 10y -20   = 0

C.  Posisi Garis Pada Lingkaran

Untuk menentukan posisi suatu garis pada lingkaran dapat dilakukan dengan metode deskriminan dan metode jarak pusat.

      a.  Metode Diskriminan

Diskriminan =>     D = b² – 4ac

Ada 3 kemungkinan hubungan garis dengan lingkaran

·         Garis memotong Lingkaran, jika D  > 0

·         Garis menyinggung Lingkaran, jika D = 0

·         Garis tidak menyinggung dan tidak memotong Lingkaran, jika D < 0

          Caranya :

          Misal persamaan garis       M => y = mx + c  dan

          persamaan lingkaran L => x² + y²  + Ax + By  + C = 0

          Gabungkan kedua persamaan diatas, dengan mensubtitusikannya.

                                                  x² + y²  + Ax + By  + C  = 0

                           x² + (mx + c)²  + Ax + B(mx + c )  + C  = 0

                x² +  m²x² + 2cmx +c²  + Ax + Bmx + Bc  + C =  0

                    (1+m²)x² + (2cm+A+Bm)x + (c²  + Bc  + C) = 0

           Hitung nilai dari Diskriminan kedua persamaan tadi.

      b.  Metode Jarak Pusat
           Menghitung jarak pusat lingkaran dengan garis g => ax + by + c =0 dan pusat lingkaran

(x_p, y_p) menggunakan rumus :

Bandingan jari-jari (r) dengan nilai d.

·         Garis g memotong lingkaran di 2 titik, jika  r > d.

·         Garis g menyinggung lingkaran, jika r = d.

·         Garis g tidak  menyinggung dan tidak memotong lingkaran, jika r < d.

Contoh Soal 3 :

Agar garis y = x + k menyinggung lingkaran x² + y² = 32, maka nilai k adalah ……………

Jawaban :

y = x + k

           x² + y² = 32

           Subtitusi Persamaan 1 kedalam persamaan 2.

                           x² + y² = 32                  Syarat Garis menyinggung Lingkaran D  = 0.

                   x² + (x + k)² = 32                         D = b² – 4 ac

           x² + x² + 2kx + k² = 32                         0  = (2k)² – 4. 2. (k² – 32)                           

         2x² + 2kx + k² – 32 = 0                              = 4k² – 8k² + 256

                                                                         = -4k² + 256

                                                                    k² = 64              

                                                                    k   = ± 8

                      Garis y = x + k akan menyinggung lingkaran x² + y² = 32 pada k = ± 8

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
    a.Menggunakan Bentuk Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) berjari jari r;  (x² + y² = r²)

      1.  Persamaan Garis Singgung melalui titik (x₁, y₁) pada lingkaran.
                       x₁ x + y₁y = r²      
   
         2.  Persamaan Garis Singgung dengan gradien m an>

                      

    b.Menggunakan Bentuk Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b) berjari jari r; (x-a)² + (y –b)² = r²

        1. Persamaan Garis Singgung melalui titik (x₁, y₁) pada lingkaran.
                        (x₁–a) (x-a) + (y₁-b) (y-b) = r²        

      2.  Persamaan Garis Singgung dengan gradien m

                         

     c. Menggunakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran; (x² + y²  + Ax + By  + C = 0)  

       1. Persamaan Garis Singgung melalui titik (x₁, y₁) pada lingkaran.

                      x₁ x + y₁ y + A(x₁+ x) + B(y₁+y)+ C = 0

                                           2               2      

       2. Persamaan Garis Singgung dengan gradien m

                             

    d.Melalui suatu Titik di Luar Lingkaran

 Suatu titik diluar lingkaran Q(x₁, y₁) dapat menyinggung sebuah lingkaran di dua titik (R dan S)

 dengan menarik 2 buah garis seperti terlihat pada Gambar.3.1

                                             Gambar.3

Q                 = Titik Polar

R dan S       = Titik Singgung Lingkaran

RS               = Garis Polar

QR dan QS  = Garis Singgung Lingkaran

Uintuk menentukan persamaan garis seperti diatas digunakan 2 metode yakni :

1. Metode Diskriminan

    Dilakukan dengan cara  :

·   Mengubah persamaan garis singgung melalui titik Q(x₁, y₁) dengan gradien m menjadi persamaan  baru.

                y-y₁ = m(x-x₁)   menjadi    y = mx – mx₁ + y₁

·        Mensubtitusi persamaan diatas ke persamaan lingkaran sehingga didapat 

     persamaan kuadrat gabungan 

ax² + bx + c = 0

·         Cari nilai m dengan menghitung deskriminan D = b² – 4ac =0.

·         Subtitusikan nilai m kedalam persamaan awal.

2.  Metode Garis Polar

    Dilakukan dengan cara  :

·         Membuat persamaan garis Polar  yang melalui Q(x₁, y₁) pada lingkaran x²+y²=r².

Persamaan barunya : x₁ x + y₁ y = r²

·         Ubah persamaan menjadi    y = r² - x₁ x

                                           y₁

·         Subtitusikan persaan kedalam, persamaan llingkaran hingga menjadi persamaan 

      kuadrat gabungan.

·         Hitung akar-akarnya dan subtitusikan kedalam persamaan y untuk mendapatkan 2 

      titik suiinggung.

·         Subtitusikan kedua titik kedalam persamaan garis singgung pada langkah awal.

Contoh Soal 4 :

Persamaan garis singgung melalui titik  (4, 3) pada lingkaran L = x² + y² -4x + 6y -12 = 0 adalah …..

Jawaban :           

x² + y² -4x + 6y -12 = 0     =>   A=-4  , B=6 dan C=-12

Titik  (4, 3)                        =>   x₁=4  dan y₁=3

                x₁ x + y₁ y + A(x₁+ x) + B(y₁+y)+ C  = 0

                                    2                 2       

                4x + 3y + (-4/2)(4+x) + (6/2)(3+y)-12 = 0       Persamaan garis singgungnya 2x + 6y-11=0

                     4x + 3y + (-2)(4+x) + (3)(3+y)-12  = 0

                           4x + 3y + (-8-2x) + (9+3y)-12  = 0

                               4x + 3y -8 -2x + 9 +3y - 12  = 0

                                                     2x + 6y - 11  = 0

E.  Soal-soal
1.     EBTANAS 2002

Titik (a, b) adalah pusat lingkaran x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = …

     a.    0                                                                d. –1
b.   2                                                                e. –2
c.    3

2.     UN 2004
 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran  x² + y² – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis
 x + 2y = 6 adalah …

      a.    2x – y + 3 = 0                                        d. 2x – y + 13 = 0

      b.    2x – y + 5 = 0                                        e. 2x – y + 25 = 0

      c.     2x – y + 7 = 0

   

3.     UN 2005

 Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3) adalah…

 a.    3x – 4y + 27 = 0                                    d.  3x + 4y – 17 = 0

 b.   3x + 4y – 27 = 0                                     e.  3x + 4y –7 = 0

 c.    3x + 4y –7 = 0

4.    UN 2007 PAKET A

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5) adalah…

a.    4x – 3y = 43                                           d. 10x + 3y = 55

b.   4x + 3y = 23                                            e. 4x – 5y = 53

c.    3x – 4y = 41

     

5.     UN 2008 PAKET A/B

Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran x² + y² = 13 adalah …

a.    2x – 3y = 13                                          d.  3x – 2y = –13

b.   2x + 3y = –13                                         e.  3x + 2y = 13

c.    2x + 3y = 13 

     

6.    UN 2009 PAKET A/B

Lingkaran (x – 4)² + (y – 4)² = 16 memotong garis y = 4. Garis singgung lingkaran yang melalui  titik

potong lingkaran dan garis tersebut adalah …

a.   y = 8 – x                                                  d.  y = x + 8 dan y = x – 8

b.  y = 0 dan y = 8                                         e.  y = x – 8 dan y = 8 – x

c.   x = 0 dan x = 8

     

7.    UN 2010 PAKET A

Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)² + (y + 5)² = 80 yang sejajar dengan garis 

y – 2x + 5 = 0 adalah …

a.  y = 2x – 11 ± 20                                      d. y = 2x –  8 ± 15

b.  y = 2x –  8 ± 20                                      e. y = 2x –  6 ± 25

c.  y = 2x –  6 ± 15

     

8      UN 2010 PAKET B

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)² + (y – 5)² = 8 yang sejajar dgn garis 

y – 7x + 5 = 0 adalah …

a. y – 7x – 13 = 0                                      d. –y + 7x + 3 = 0

b. y + 7x + 3 = 0                                       e   y – 7x + 3 = 0

c. –y – 7x + 3 = 0

  

9.     UN 2011 PAKET 12

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah …

a.   3x – 4y – 41 = 0                                    d. 4x + 3y – 31 = 0

b. 4x + 3y – 55 = 0                                      e. 4x – 3y – 40 = 0

c.   4x – 5y – 53 = 0  

     

10. UN 2011 PAKET 46

Persamaan garis singgung lingkaran

x² + y² – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah …

a.  x – y – 12 = 0                                         d. x + y – 3 = 0   

b.  x – y – 4 = 0                                           e. x + y + 3 = 0

c.   x – y – 3 = 0  

      

Demikian bahasan lingkaran untuk tingkat SMA sederajat. Semoga berguna sebagai bahan belajar. Sampai ketemu lagi pada materi lainnya.

             

Salam,

Mas Admin