Matematika SMA : Logaritma

A.    Definisi :  Logaritma adalah mencari pangkat.

  

                5²                                =     ….       Operasi Pemangkatan

               

                        =     ….       Operasi Pengakaran

                ²Log 25            =     …         Operasi Logaritma  

        ²Log 25 = 5

2  disebut basis atau indek; dengan syarat     basis> 0 dan  basis #1   

25 disebut numerus atau hasil; dengan syarat  numerus #1

        ²Log 25 = 5      artinya sama dengan   2⁵ = 25

Untuk menyelesaikan Logaritma kita harus mengetahui sifat logaritma itu sendiri yang akan menjadi rumus. Untuk memudahkan belajar Mas Admin membaginya menjadi 3 bagian, yakni : Rumus Dasar, Rumus Operasi Perhitungan dan Rumus Umum/Lainnya.

B.    Rumus Dasar.           

        1.    ^aLog b  = c                   è  a^c = b

        2.    ^aLog a  = 1

          Bukti :   a¹ = a    atau dgn rumus lain     ^a Log a =   Log a    = 1

                                                                                              Log a

     3.    ^aLog aⁿ  = n

         

          Bukti :   ^aLog aⁿ  = n . ^aLog a   

                                            = n . 1

                                            = n    

                 

        4.    ^aLog 1  = 0

          Bukti :   ^a Log 1  = x      a^x = 1      x = 0     

                                                   Bilangan Berapapun jika dipangkatkan dgn 0 hasilnya 1.

        5.    a ^aLog b = b

                 

C.    Rumus Operasi Perhitungan.

        Digunakan dalam operasi perhitungan (+, -, x, dan ^ )

        1.    ^aLog (b.c)     =  ^aLog b + ^aLog c                

        2.    ^aLog (b/c)    =  ^aLog b - ^aLog c

        3.    ^aLog bⁿ       = n. ^aLog b     

               

        4.      

                     Dapat diteruskan menjadi Sbb :

         5.    ^aLog b ^bLog c  = ^aLog c

                        Bukti : ^aLog b ^bLog c  = Log b  .   Log c      = Log c

                                                       Log a       Log b        Log a

                                                                   =  ^aLog c

       

D.    Rumus Umum / Lainnya.

                                       .         1          . .

        1.    ^aLog b =     ^bLog a

        2.    ^aLog b = .  Log b  .   =  .  ^xLog b  .     

                           Log a                 ^xLog a

                                      ^x bisa diganti sembarang angka sesuai syarat

           Catatan :    ¹⁰Log b      --->  ¹⁰Log b, karena basis 10 tidak usah ditulis      

Latihan :

1.    Ubahlah menjadi bentuk logaritma untuk soal dibawah ini!

        a.    2³ = 8                     è  ²Log 8 = 3                      pakai  rumus dasar 1 (RD.1)

        b.    4⁵ = 1.024             è  ⁴Log 1024 = 5

        c.    7³ = 343                è  ⁷Log 343 = 3

2.    Tentukan nilai dari   ²Log 8 + ³Log 9 + ⁵Log 125 ?

        Jawaban :

        Gunakan pohon faktor untuk menyederhanakan numerusnya. Gunakan juga basis sebagai acuan.

                ²Log 8 + ³Log 9 + ⁵Log 125  =   ²Log 2³   +  ³Log 3²     +   ⁵Log 5³            pakai RO.3

                                                          =   3 ²Log 2  +  2 ³Log 3  +   3 ⁵Log 5           pakai    RD.2

                                                          =   ( 3 . 1 ) + ( 2 . 1 ) + ( 3 . 1 )

                                                          =   3 +  2 +  3

                                                          =  8

3.    Carilah nilai dari ²Log 1/8 + ³Log1/9 + ⁵Log 1/125 ?

        Jawaban :

                Ubahlah bentuk numerous yang semula berbentuk pecahan.

                ²Log 1/8 + ³Log 1/9 + ⁵Log 1/125 = ²Log 1/2³  + ³Log 1/3²   + ⁵Log 1/5³

                                                                 = ²Log 2^-3    + ³Log 3^-2     + ⁵Log 5^-3

                                                                 = (-3) ²Log 2 + (-2) ³Log 3  + (-3) ⁵Log 5

                                                                 = (-3 .  1 )     + (-2 . 1 )       + (-3 . 1)

                                                                 = -3 – 2 – 3

                                                                 = -8

4.    Tentukanlah nilai dari ⁴Log 8 + ²⁷Log 9 ?

        Jawaban :

                Dalam soal ini basis dan numerus tidak sama, ubahlah  agar bernilai sama.

         
               
                                                    =  3/2  ²Log 2 + 2/3 ³Log 3

                                                          =  ( 3/2 . 1 ) + (2/3 . 1)        

                                                          = 13/6

5.    Carilah nilai dari ⁸Log 4 + ²⁷Log 1/9 ?

        Jawaban :

                ⁸Log 4 + ²⁷Log 1/9    =   
                           

                                     = (2/3)  ²Log 2 + (-2/3) ³Log 3

                                     = (2/3 . 1 )        + (-2/3 . 1)

                                     = 2/3  - 2/3

                                     =  0

6.    Tentukan nilai dari  

        Jawaban :
              

                                 =   
                           =       3  . ²Log 2 
                                  1/2

                                    =     (3 . 2/1) . 1

                                    = 6

7.    Diketahhui    Log p = A                                    Carilah nilai dari Log p³ q² ?

                          Log q = B                  
   Jawaban :   Pakai RO.1 untuk menyelesaikan soal ini.

                Log p³ q² = Log p³  + Log q²

                               = 3 Log p  + 2 Log q

                               = 3 A  + 2B

         

8.    Diketahui     Log 40 = A                            Tentukanlah nilai Log 20 ?

                         Log 2   =  B
   Jawaban :

                Log 20 = Log (40/2)                    Pakai  RO.2

                        = Log 40 – Log 2

                        = A – B

9.    Diketahui nilai ²Log 7  = a   dan                    Tentukan nilai dari ⁶Log 14 ?

                             ²Log 3 = b   
       Jawaban :
                ²Log 7  = a      è Log 7  = a                           ²Log 3 = b è Log 3 = b

                                                Log 2                                                       Log 2

                                                 Log 7 = a . Log 2                                     Log 3 = b. Log 2

                ⁶Log 14    =  Log 14  = Log 7. 2   =  Log 7 + Log 2

                                    Log 6        Log 3. 2       Log 3 + Log 2

                                  =  a Log 2 + Log 2   =  Log 2 (a + 1)

                                      b Log 2 + Log 2       Log 2 (b + 1)

                                    

                                  = (a+1)

                                     (b+1)                     
                          

10.  Jika diketahui . Tentukanlah nilai X ?           
        Jawaban :                   Pakai RD.1
                                  2³    = 

                                        8   =
                                  8²   =   ()²

                                        64   = 12X  + 4
                                 12X  = 60
                                     X  = 15

                                               

11.  Berapa  nilai dari  Log 75? Jika Log 3 = 0,4771 dan Log 2 = 0,3010.

        Jawaban :

                Log 75 =    Log 25. 3                                          

                                = Log 25 + Log 3

                                = Log 5² + 0,4771                             

                                = 2 Log 5 + 0,4771

                                = 2 (Log 5) + 0,4771                        

                                = 2 (Log 10/2) + 0,4771

                                = 2 (Log 10 – Log 2) + 0,4771

                                = 2 (¹⁰Log 10 – 0,3010) + 0,4771

                                = 2 (1 – 0,3010) + 0,4771

                                = 2 ( 0,699) + 0,4771

                                = 1,8751

12.  Carilah Nilai dari   ²Log 8  ^{+ ½}Log 0,25 + ³Log 1/27 + ²Log 1 ?

        Jawaban :

                                Gunakam ROp.4 untuk menyelesaikan soal ini.

               

13. Carilah nilai dari  ^aLog 1/b  ^bLog 1/c^{2  c}Log 1/a³ !

        Jawaban :

                Gunakan ROp.5

                ^aLog 1/b  ^bLog 1/c^{2  c}Log 1/a³

                           = ^aLog b^{-1   b}Log c^{-2   c}Log a^-3                               Gunakan RD.3

                           = (-1) ^aLog b    (-2) ^bLog c     (-3) ^cLog a

                           = (-6) ^aLog b    ^bLog c   ^cLog a                               Gunakan RO.5

                           = (-6) Log b    Log c   Log a

                                     Log a    Log b   Log c

                               = -6  .  1

                               =  -6

14.  Berapakah nilai ⁴Log 3, jika ⁹Log 8 = 3m ?

        Jawaban :

                ⁹Log 8            = 3m

                3²                ₃^`     = 3m                          Gunakan RO.4

                   ^{Log 2
         3}Log 2 ^3/2   = 3m

                  3/2 ³Log 2  = 3m

                  ³Log 2        = 3m  . 2/3

                                  = 2m                           

     

            Gunakan RU1 untuk menyelesaikan soal.

            ⁴Log 3    = .       1      .  =  .       1      .  =  .        1         .  =         1         .

                                  ³Log 4            ³Log 2²               2 ³Log 2             2.    2m

                        =         1      . 

                           4m

15.  Berapa ¹²Log75?  Jika ⁵Log 3 = a  dan  ³Log4 = b.

      Jawaban :

            ¹²Log75   = Log 75                                      Gunakan RU.2

                                Log 12

                              = ³Log 75         = ³Log 5² . 3     =  ³Log 5² + ³Log 3

                                 ³Log 12            ³Log 4 . 3            ³Log 4 +  ³Log 3
                                              

                                                                .   1    .                . 1 .

                              = 2 ³Log 5 + 1   =   2 ⁵Log 3 + 1  =  2    a + 1

                                   b  + 1                       b  + 1                 b  + 1                   

                              =  2/a + 1   = 2/a + a  . a   =  (2+a)/a

                                     b +1          b +1         a        a (b +1)

Demikian penggunaan beberapa rumus logaritma. Semoga bermanfaat. Cobalah dengan soal lainnya, karena semakin banyak berlatih akan semakin mengingatkan kita pada rumus rumusnya yang merupakan sifat dari logaritma itu sendiri.

Salam,

Mas Admin