Matematika SMA : Trigonometri Segitiga Miring

1.    SINUS DAN COSINUS SUDUT TUMPUL

 Ketentuan :

        1.  Sinus sudut tumpul sama dengan sinus pelurusnya.

                                Sin (180 - α) = Sin α

        2.  Cosinus sudut tumpul berlawanan dengan cosinus pelurusnya.

                                Cos (180 - α) = - Cos α

        3.  Sin  90^o = 1.

        4.  Cos 90^o = 0.

Dengan ketentuan diatas maka sinus dan cosinus sudut tumpul dinyatakan dengan sinus dan cosinus pelurusnya.

Misal :

        Sin 140^o = Sin 4⁰                                               Cos 100^o   = - Cos 80^o

       

        Sin 150^o = Sin 30^o                                             Cos 135^o   = - Cos 45^o

                       = ½                                                                       = - Cos ½√2

Perhatikan juga sudut-sudut istimewa berikut ini.

Note : Nilai Sinus dan Cosinus berkebalikan. Ingat Tg adalah Sin/Cos.

2.   RUMUS SINUS

Ketentuan :

        Perhatikan Gambar.1. 

                                                                     Gambar. 1

        Bukti ketentuan diatas, pada gambar 1 terlihat :

        ∆ABC adalah segitiga lancip.

        CD adalah garis tengah melalui titik C dan pusat lingkaran M.

        CM dan MD adalah  jari-jari lingkaran (R).

        <BAC besarnya α.

        <BAC dan <BDC adalah sudut keliling lingkaran, karenanya besarnya sama yakni α.

        <CBD adalah siku-siku jadi besarnya 90^o.

 Jadi :

        Sin <BDC = a/CD

                         = a/2R

               Sin α  = a/2R

                 a      = 2R

              Sin α

       Dengan sedikit merubah Gambar. 1 menjadi Gambar. 2 seperti berikut.

                                                                             Gambar. 2

      Pada Gambar.2 terlihat

        CD adalah garis tengah melalui titik C dan pusat lingkaran M.              

       <ABC dan <ADC besarnya sama yakni β.

       <CAD adalah siku-siku jadi besarnya 90^o.

       CM dan MD adalah  jari-jari lingkaran (R).

 Bukti :

        Sin < ADC = b/CD                                              Sin <ACD  =  c/CD

                          = b/2R                                                               = c/2R

                Sin β  = b/2R                                                    Sin γ   =  c/2R

                   b     = 2R                                                         c       = 2R

                Sin β                                                                 Sin γ  

                                                                            Gambar. 3

Pada Gambar. 3 terlihat α tumpul, maka <BDC = (180^o - α). Ingat jumlah sudut yang berhadapan (<BAC dan <BDC) adalah 180^o. Jadi :

        Sin <BDC = Sin (180^o - α)

                         = Sin α          (pelurusnya)

Dalam ∆BCD berlaku

        Sin <BDC = a/2R

               Sin α  = a/2R

                 a      = 2R

              Sin α

Jadi rumus-rumus tersebut berlaku bagi segitiga lancip dan segitiga tumpul.

Kadang-kadang rumus sinus ditulis juga sbb :

        a   = 2R Sin α

        b   = 2R Sin β

        c   = 2R Sin γ      

3.    RUMUS COSINUS

 Dalam setiap ∆ABC berlaku :

                        a²  = b² + c² – 2bc cos α

                        b²  = a² + c² – 2 ac cos β

                        c²  = a² + b² – 2ab cos γ

                                                                    Gambar. 4

       

Buktinya :

Pada Gambar. 4 terlihat α > 90^o.  Maka menurut dalil proyeksi :

        a² =  b² + c² – 2 cp

Dalam ∆ACD terlihat p = b cos α, jadi

        a² =  b² + c² – 2 cp

             = b² + c² – 2 c b cos α

        a² = b² + c² – 2 bc cos α

                                                                Gambar. 5

Pada Gambar. 5 terlihat α > 90^o. Dalam hal ini

        a² =  b² + c² + 2 cp

        Cos <ACD = Cos (180^o - α)       ingat pelurusnya

Jadi

        p = b Cos (180^o - α)

            = - b Cos α

Maka

        a² = b² + c² + 2 cp

             = b² + c²- 2 c b Cos α

       a²  = b² + c²- 2bc Cos α

Jadi rumus-rumus tersebut berlaku bagi segitiga lancip dan segitiga tumpul.

                                                                        

4.   LUAS SEGITIGA

Luas Segitiga sama besarnya dengan seperdua hasil kali dua sisi dengan sinus sudut apitnya.

Buktinya :

Pada Gambar.4 dan Gambar. 5  CD = b Sin α

Jadil Luas ∆ABC

        L  = ½ c  x  b sin α

            = ½ bc Sin α

Dalil itu dapat ditulis juga sbb :

        L  = ½ bc Sin α   

            = ½ 2R  sin β  2R Sin γ Sin α

Jadi

        L  = ½ bc Sin α

            = ½ ca Sin β

            = ½ ab Sin γ

            = 2 R² Sinα Sin β Sin γ

5.   MENDAPATKAN RUMUS SINUS DENGAN PERTOLONGAN RUMUS COSINUS

Sebuah segitiga memiliki 6 unsur yakni 3 sudut dan 3 sisi. Untuk menghitung segitiga diperlukan hubungan,  diantarnya :

        1.  α + β + γ = 180^o

        2.  a : Sin α  =  b : Sin β  =  c : Sin γ

Jadi rumus Cosinus harus dapat dicari dengan pertolongan hubungan diatas. Sebaliknya rumus Sinus juga dapat dicari dengan pertolongan rumus Cosinus.

Buktinya :

        a²  = b² + c² – 2bc Cos α

        b²  = a² + c² – 2ac Cos β

        c²  = a² + b² – 2ab Cos γ

Karena a : Sin α  =  b : Sin β  =  c : Sin γ, dan Sin² α+Cos² α = 1 maka

                                  a² = b² + c² – 2bc Cos α

                     2bc Cos  α = b² + c² – a²

                  (2bc Cos α)² = (b² + c² – a²)²

                  4b²c² Cos² α = (b² + c² – a²)²

           4b²c² (1 - Sin² α) = (b² + c² – a²)²

       4b²c² - 4b²c² Sin² α = (b² + c² – a²)²

                - 4b²c² Sin² α  = -4b²c²  + (b² + c² – a²)²

                   4b²c² Sin² α = 4b²c²  - (b² + c² – a²)²

                                      = (2bc + b² + c² – a²) (2bc – b² - c² + a²)

                                      = (b + c + a) (b + c - a)(a – b + c)(a + b -c)

                                      = 16s (s - a)(s - b)(s - c)

                                      = 16 L²

Oleh sebab itu maka

        Sin²α     =     16 L²

           a²           4a²b²c²

          a          = 4a²b²c²

        Sin² α         16L²

                     

                      = a²b²c² 

                          4L²

           

           a         = abc

        Sin α          2L

                      = 2R         Disini dipakai ilmu ukur ruang R = abc/4L



Demikianlah penjelasan dari Mas Admin. Sekarang kita mengetahui dari mana Rumus Sinus & Cosinus yang terkenal berasal. Semoga materi ini bermanfaat. Sampai ketemu di materi selanjutnya.


Salam,
Mas Admin.