A. PERSAMAAN
KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah suatu
persamaan yang memiliki pangkat tertinggi variabelnya adalah 2.
Bentuk
Umum Persamaan Kuardat :
Dimana a ‡ 0 dan a, b,c ε R
x = variabel persamaan
kuadrat
a = koefisien x2
b = koefisien x
c = konstanta
a. Cara
menyelesaikan persamaan kuadrat.
Akar-akar persamaan kuadrat umunya diberi notasi x1
dan x2. Untuk menentukan akar-akar
persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan
cara :
·
Memfaktorkan.
Bentuk
ax2 + bx + c = 0 difaktorkan
menjadi bentuk (x + x1)(x + x2) = 0.
Dimana : x1
+ x2 = b , dan
x1 . x2 = c
Atau
Bentuk ax2 + bx + c = 0, (a‡0) diuraikan menjadi
(ax
+ p)(ax + q) =0
a
Dengan
syarat p.q = a.c dan p+q= b
·
Melengkapi kuadrat sempurna.
Mengubah
persamaan kuadrat menjadi kuadrat sempurna, dengan langkah sbb :
»
Mengubah bentuk ax2 +
bx + c = 0 menjadi ax2 + bx =
-c
» Jika a‡1, bagi kedua ruas persamaan dengan a,
hingga didapat bentuk :
x2
+ bx = -c
a
a
» Lengkapi
bentuk kuadrat, dengan manambahkan kedua ruas dengan (b/2a)2,
sehinga menjadi
x2 +
(b/2a)2 = (-c/a ) + (b/2a)2
·
Menggunakan rumus kuadrat atau rumus ABC.
Merupakan metode
yang paling umum.
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0,
dengan a‡0, maka
b. Jenis akar persamaan kuadrat.
c. Jumlah, selisih dan hasil kali akar-kar persamaan kuadrat.
Determinan
D = b2 – 4ac
Determinan akan mempengaruhi sifat akar.
·
D > 0
Persamaan
kuadrat memiliki dua akar real dan berlainan
(x1 ≠ x2)
·
D = 0
Persamaan
kuadrat memiliki dua akar real yang sama
(x1 = x2)
·
D < 0
Persamaan
kuadrat memiliki dua akar imajiner (tidak nyata.
c. Jumlah, selisih dan hasil kali akar-kar persamaan kuadrat.
Jika x1 dan x2
adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0, maka :
·
x1 + x2 =- b
a
·
x1 . x2 = c
a
·
x1 - x2 = √D
a
Akar-akar yang berlerasi :
·
Berkebalikan (x1 = 1/x1)
Maka a = c dan D ≥ 0
·
Berlawanan Tanda
Maka b =0,
c/a < 0 dan D ≥ 0
·
Keduanya Positif
Maka b/a <0, c/a >0
dan D ≥0
·
Keduanya Negatif
Maka b/a >0, c/a>0 dan D ≥0
Tambahan Rumus :
1. x12 + x22
= (x1 + x2)2
- 2x1 . x2
2. x12 - x22
= (x1 + x2)(x1
- x2)
3. (x1 – x2)2
= D/a2
4. x13
+ x23 = (x1 + x2)3
- 3x1 . x2 (x1
+ x2)
5. 1/x1 + 1/x2 = (x1
+ x2)/ (x1 . x2)
d. Penyusuan persamaan kuadrat
·
Mernggunakan Faktor
(x-x1)
(x-x2) = 0
·
Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
x2 – (x1 + x2) + x1
– x2 = 0
·
JIka akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar yang
lainnya.
Menganti akar-akar persamaan kuadarat yang
diketahahui (x1 dan x2) dengan akar-akar persamaan
kuadrat baru (α dan β).
Antara α dan βserta x1 dan x2
memiliki hubungan bentuk homogen, maka persamaan baru ditentukan oleh :
x2 –(α + β)x + (α.β) = 0
Contoh 1:
Jika x1 dan x2 merpakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 –x – 5 =0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1+1 dan x2 + 1 adalah ?
Jawaban :
CARA PERTAMA
Jika x1 dan x2 merpakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 –x – 5 =0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1+1 dan x2 + 1 adalah ?
Jawaban :
CARA PERTAMA
2x2 –x – 5 =0 => a = 2, b = -1
dan c = -5
x1
+ x2 = -b/a x1 . x2 = c/a
= ½ = -5/2
Akar-akar
persamaan kuadrat baru : p = x1+1
dan q = x2 + 1
p + q = (x1+1) + (x2+1) p . q = (x1+1) . (x2+1)
= x1+x2+2 = (x1 . x2) + (x1
+ x2) + 1
= ½ + 2 = -5/2 + ½ + 1
= 5/2 = -1
Persamaan
kuadrat barunya :
x2 –(α + β)x + (α.β) = 0
x2 – (p+q)x + p.q = 0
x2 – 5/2 – 1 = 0
2x2 – 5 – 2 = 0
CARA KEDUA
Misalkan
: y =x + 1
x = y - 1
2x2 –x – 5 = 0
2(y - 1)2 –(y - 1)
– 5 = 0
2(y2 - 2y + 1) – y + 1
- 5 = 0
2y2 - 4y + 2 –y - 4 = 0
2y2 - 5y - 2 = 0 Ganti variabel y menjadi x
2x2 – 5x - 2 = 0
Contoh 2 :
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 –
9x + 4 = 0 adalah ?
Jawaban :
3x2
– 9x + 4 = 0 =>a=1, b=-9 dan c=4
x1 + x2
= -b/a x1
. x2 = c/a
= -(-9)/3 = 4/3
= 3
Jumlah kebalikan
akar-akarnya :
1 + 1 = x1 + x2
x1 x2 x1 . x2
= 3 / (4/3)
= 9/4
B. FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang memiliki pangkat
btertinggi 2.
Bentuk umumnya :
f(x)
= y =ax2 + bx + c
Dimana
: a ≠ 0
a, b, c ε Real
a. Menggambar Fungsi Kuadrat.
Beberapa titik dapat digunakan untuk
membuat gambart fungsi kuadrat.
·
Menentukan titik potong dengan sumbu x
(y=0)dengan melihat Deskriminan :1
» Jika D >0, maka
grafik memotong sumbu x di dua titik.
» Jika D = 0, maka
grafik menyinggung sumbu x.
» Jika D < 0,
maka grafik tidak memotong sumbu x.
·
Menentukan titik potong dengan sumbu y (x=0.)
·
Menentkan sumbu simetri/ titik tengah : x = -b/2a.
·
Menentukan titik puncak maksimum/minimum atau
titik balik kurva : (-b/2a, -D/4a).
b. Menyusun Fungsi Kuadrat .
· Jika diketahui titik puncak (xp, yp)
dan melalui sebuah titik (x, y), maka persamaan fungsinya :
f(x) = y = a (x - xp)2
+ yp.
·
Jika diketahui memotong sumbu x di titik A(x1,
0), B(x2, 0) dan melalui sebuah titik, maka persamaan fungsinya :
f(x) = y = a (x - x1)
+ (x – x2).
·
Jika hanya menyinggung sumbu x di titik A(x, 0)
dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsinya :
f(x) = y = a (x - x1)2.
·
Jika kurva melalui tiga buah titik,
substitusikan ketiga titik tersebut ke
dalam persamaan f(x) = y = ax2 + bx + c, kemudian tentukan nilai a,
b dan c nya.
Contoh 1 :
Grafik fungsi y = x2 – 4x + a akan
memotong sumbu x di dua titik jika nilai a ?
Jawaban :
y = x2 – 4x + a => a = 1, b = -4 dan c = a
Syarat memotong Sumbu x => D > 0
b2 – 4ac
> 0
(-4)2 – (4 . 1 .a) > 0
16 - 4a > 0
- 4a > -16
a < 4
Jadi grafik akan memotong sumbu x di
dua titik jika niali a < 4.
Contoh 2 :
Titik puncak parabola fungsi y =
2x2 – 12x + 14 ?
Jawaban :
2x2 – 12x + 14 => a = 2, b = -12 dan c = 14
x = -b/2a y = -D/4a
=
-(-12)/(2 . 2) = -(b2 – 4ac) / 4a
= 12/4 = - (-122 – 4 .2 . 14)/(4 / 2)
= 3 = -(144 - 112)/8
= -(266)/8
= -4
Titik
Puncaknya (3, -4)
C. Rumus Umum Fungsi Kuadrat
2. EBTANAS 2003
1. Bentuk
Umum 2. Deskriminan
f(x)
= y = ax2 + bx + c D
= b2 – 4ac
Syarat a ≠ 0
3. Sumbu
Simetri 4. Nilai Ekstrim
X = - b y
= - D = f(-b/2a)
2a 4a
5. Titik
Puncak / Balik 6. Titik Potong Pada Sumbu x
(x,y) = (-b/2a, -D/4a) (x1,
0) dan (x2, 0) Syarat
x1 dan x2 merupakan
akar dari ax2 + bx + c = 0
7. Titik
Potong Pada Sumbu y 8. Bentuk Grafik
(x, y) = (0, c) a
> 0 : Terbuka Keatas
Jika x = 0, maka y = a(0)2
+ b(0)+c =c a
< 0: Terbuka Kebawah
D.
1. EBTANAS
2002 / UN 1995 |
2. EBTANAS 2003
3. UN 2007 PAKET A
4. UN 2007 PAKET B
5. UN 2007 PAKET A
6. UN
2008 PAKET A/B
7. UN 2008 PAKET
A/B
8. UN 2009, 2010 PAKET A/B
9. UN
2009 PAKET A/B, UN 2010 PAKET B
10. UN 2009 PAKET A/B, UN 2010 PAKET B
11. UN 2010 PAKET A/ UN
2011 PAKET 12
12. UN 2010 PAKET A/B
13. UN 2011 PAKET 12
14. UN 2011 PAKET 46
15. UM UGM 2013
Demikian
bahasan kali ini. Semoga dapat dipahami. Mas Admin berharap jika ada soal-soal
seperti ini, semua dapat dijawab dengan tanpa kesulitan dan tentunya jawabannya
benar. Untuk itu teruslah berlatih.
Mahir tanpa berlatih adalah mustahil.
Sekian
dulu, sampai ketemu dalam materi lainnya.
Salam,
Mas Admin
DEWAPK^^ agen judi terpercaya, ayo segera bergabungan dengan kami
ReplyDeletedicoba keberuntungan kalian bersama kami dengan memenangkan uang jutaan rupiah
ditunggu apa lagi segera buka link kami ya :)