Matematika SMA : Rumus Trigonometri Untuk Cos (α ± β) dan Sin (α ± β), Sudut Ganda dan Setengah Sudut

Kali ini Mas Admin akan membahas dari mana asal mula rumus Sudut Ganda pada Trigonometri, yakni rumus-rumus untuk Cos(α ± β) dan Sin(α ± β).

Untuk mempermudah pembahasan kali ini perhatikan gambar dibawah ini.

Pada gambar.1 terlihat sumbu tegak lurus XOY dan sebuah lingkaran yang berjar-jari 1 dengan pusat titik O. Pada lingkaran terletak titik P dan Q. <POX₊ kita sebut α, <QOP₊ adalah β. Maka kordinat titik P adalah (Cos α, Sin α) dan titik Q adalah (Cos β, Sin β).

Terlihat juga <POQ = (α - β) + k. 360^o) jadi Cos <POQ = Cos (α - β).

Dalam ilmu aljabar diketahui jika dua buah titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) maka :

PQ² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²

Karenanya dengan rumus aljabar diatas, didapat :

PQ²   = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²

         = (Cos α – Cos β)² + (Sin α – Sin β)²

         = Cos² α – 2 Cos α Cos β  + Cos² β + Sin² α – 2 Sin α Sin β  + Sin² β

         = (Cos² α + Sin² α ) + (Cos² β + Sin² β )  – 2 (Cos α Cos β  +  Sin α Sin β)

         = 1 + 1 – 2 (Cos α Cos β +  Sin α Sin β)

         = 2 – 2 (Cos α Cos β  –  Sin α Sin β)

Dengan menggunakan rumus Cosinus dalam ∆ POQ, akan didapat :

___      ___    ___       __      __

 PQ² = OP² + OQ² - 2 OP + OQ Cos(α- β)

        = 2 – 2 Cos(α- β)

Jika kedua rumus digabungkan maka didapat persamaan :

2 – 2 Cos(α- β) = 2 – 2 (Cos α Cos β  +  Sin α Sin β)

– 2 Cos(α- β)    = 2 – 2 (Cos α Cos β  +  Sin α Sin β) - 2

                         = – 2 (Cos α Cos β  +  Sin α Sin β)

       Cos(α- β)  = (Cos α Cos β   + Sin α Sin β)      

Rumus diatas berlaku untuk sembarang sudut α dan β. Kita buktikan untuk <POQ  =0^o atau 180^o sbb :

a. <POQ = 0^o

      α – β = k. 360^o

             α = β + k. 360^o

                     

    Maka Cos α Cos β + Sin α Sin β = Cos (β + k. 360^o) Cos β + Sin (β + k. 360^o) Sin β

                                                       = Cos² β + Sin² β

                                                       = 1

                                                       = Cos (α - β)

b. <POQ = 180^o

       α - β = 180^o + k. 360^o

            α = β + 180^o + k. 360^o

 Maka Cos α Cos β + Sin α Sin β = Cos (β +180^o + k. 360^o) Cos β + Sin (β + 180^o + k. 360^o) Sin β    

                                                    = Cos (β + 180^o) Cos β + Sin (β + 180^o) Sin β

                                                    = -Cos² β – Sin² β

                                                    = -1

                                                    = Cos (α - β)

Ternyata persamaan Cos(α- β) = (Cos α Cos β   + Sin α Sin β) berlaku untuk semua harga α, sebab :

          Cos(90^o - α) = Sin α  dan

          Sin(90^o - α)  = Cos α 

          Jika αdiganti dengan 90^o – α, maka diperoleh Cos α = Sin(90^o - α).

Jika pada rumus Cos(α - β) = (Cos α Cos β + Sin α Sin β), β diganti menjadi –β, maka diperoleh persamaan baru :

          Cos(α - β) = (Cos α Cos β   + Sin α Sin β)  

          Cos(α + β) = (Cos α Cos (-β)   + Sin α Sin (-β))

          Cos(α + β) = Cos α Cos β  - Sin α Sin β

Jika pada persamaan Cos(α - β) = (Cos α Cos β + Sin α Sin β) diganti α menjadi (90^o – α), maka diperoleh persamaan baru :

                      Cos(α - β) = (Cos α Cos β   + Sin α Sin β)          

             Cos(90^o – α - β) = (Cos(90^o – α) Cosβ + Sin(90^o – α) Sin β)

             Cos(90^o – α +β) = (Cos(90^o – α) Cosβ + Sin(90^o – α) Sin β)

                     Sin (α + β) = Sin α Cos β + Sin α Sin β

                     Sin (α + β) = Sin α Cos β + Cos α Sin β

         

Jika dalam peramaan Sin (α + β) = Sin α Cos β + Cos α Sin β, β diganti menjadi –β diperoleh :

          Sin (α + β) = Sin α Cos β + Cos α Sin β

          Sin (α - β)  = Sin α Cos (–β) + Cos α Sin (-β)

          Sin (α - β)  = Sin α Cos β - Cos α Sin β

Selanjutnya dari Cos(α + β) = Cos α Cos β  - Sin α Sin β dan Sin (α + β) =  Sin α Cos β + Cos α Sin β diapat persamaan baru sbb :

          Tg (α + β) = Sin (α + β)                                

                             Cos (α + β)

                          = Sin α Cos β + Cos α Sin β

                             Cos α Cos β - Sin α Sin β

                          = Sin α Cos β + Cos α Sin β : Cos α Cos β

                             Cos α Cos β - Sin α Sin β     Cos α Cos β

                               

          Tg (α + β) = Tg α + Tg β

                             1 – Tg α Tg β

Jika sekarang β diganti menjadi (-β), maka diperolah persamaan baru sbb :

          Tg (α + β)   = Tg α + Tg β

                                    1 – Tg α Tg β

          Tg (α - β)    = Tg α - Tg β

                               1 + Tg α Tg β

Sudut Ganda didapat dari penggantian sudut α = β dari beberapa persamaan yang telah kita dapatkan diatas. Seperti berikut ini.

Sin 2α =  Sin (α + α)

           = Sin α Cos α + Cos α Sin α                      

Sin 2α = 2 Sin α Cos α

Cos 2α = Cos (α + α)                     atau  Cos 2α = Cos (α + α)          atau   Cos 2α = Cos (α + α)

           = Cos α Cos α – Sin α Sin α                     = Cos² α – (1 – Cos² α)                = (1 – Sin² α) - Sin² α

Cos 2α = Cos² α – Sin² α                        Cos 2α = 2 Cos² α - 1                 Cos 2α  = 1 - 2  Sin² α

Tg 2α   =   Tg α + Tg α

              1 – Tg α Tg α

Tg 2α   =  2 Tg α

               1 – Tg² α

Dengan bantuan beberapa persamaan, akan didapat persamaan untuk setengah sudut, misalnya :

Sin 2α  = 2 Sin α Cos α

   Sin α = 2 Sin ½α Cos ½α

Demikian bahasan mengenai asal mula rumus untuk Untuk  Cos (α ± β), Sin (α ± β), Sudut Ganda serta Setengah Sudut. Dengan ringkasan sbb :

Sin (α + β) =  Sin α Cos β + Cos α Sin β

Cos(α + β) =  Cos α Cos β  - Sin α Sin β

Sin (α - β)  = Sin α Cos β - Cos α Sin β

Cos(α - β) = (Cos α Cos β   + Sin α Sin β)

Tg (α + β) = Tg α + Tg β

                  1 – Tg α Tg β

Tg (α - β)  = Tg α - Tg β

                    1 + Tg α Tg β

Sin 2α       = 2 Sin α Cos α

Cos 2α      = Cos² α – Sin² α

          Tg 2α    =  2 Tg α

                          1 – Tg² α

Semoga bermanfaat dan menjadikan referensi yang berguna bagi semua. Sampai jumpa pada
materi yang lain.

Salam,

Mas Admin.