HPU : Rumus Sinus dan Cosinus

Matematika SMA : Fungsi Goniometri Sudut Lancip

Ada pepatah mengatakan "Dari mana datangnya cinta. Dari mata turun ke hati". Dari mana datangnya rumus ? Dari dulunya udah gitu ! Atau au ah gelap ......!
Kali ini Mas Admin membuat materi ilmu ukur segita (trigonometri) dalam beberapa bagian untuk menjelaskan rumus-rumus tersebut berasal. Simak bahasannya.

1.    UNSUR SEGITIGA

Suatu Segitiga terdiri dari tiga unsur yang tidak bergantung satu sama lain. Dengan pertolongan ketiga unsur tersebut suatu segitiga dikonstruksi atau dibuat, dan juga dapat di hitung. Menghitung ketiga unsur tersebut dilakukan dengan ilmu ukur segitiga (trigonometri).

Unsur segitiga tersebut adalah Sisi Tegak, Sisi Datar dan Sisi Miring.

                                                                           Gambar. 1

Pada gambar. 1, α adalah sudut lancip. Pada Sisi Miring segitiga terletak titik-titik B, C dan D. Pada Sisi Datar terdapat proyeksi ketiga titik tersebut yaitu titik-titik b, c dan d.          

Terlihat bahwa :

                    Bb   = Cc    =  Dd

                    AB     AC       AD

Ternyata untuk <α perbandingan Bb : AB adalah tetap.

Besar α ditentukan perbandingan Bb : AB. Jadi Bb : AB adalah ukuran untuk α.

Ilmu yang menyelidiki perbandingan-perbandingan tersebut dinamai ilmu ukur sudut (goniometri). Perbandingan-perbandingan diatas dinamai perbandingan goniometri atau fungsi-fungsi goniometri dari sudut α.

2.    KETENTUAN FUNGSI GONIOMETRI

                                                                         Gambar. 2

       

Pada gambar 2 terlihat :

        ∆ABb adalah segitiga siku-siku pada titik b.          

        Ab = x 

        Bb   = y

        AB  = r

Sekarang kita buat batasan atau ketentuan sbb :

        Sinus α (Sin α)              = Sisi siku-siku yang berseberangan   = y

                                                                  Sisi Miring                                r

        Cosinus α (Cos α)        = Sisi siku-siku yang berbatasan   = x

                                                                   Sisi Miring                        r

        Tangens α (tg α)   = Sisi siku-siku yang berseberangan   = y

                                             Sisi siku-siku yang berbatasan           x

Seandainya pada gambar 2, α = 30^o maka r = 2y.

Misalkan jika y = 1, maka :

        r = 2

      

                                                                                                     Gambar. 3                      

Jadi :

                   

Kebalikan Sin α, Cos α, Tg α masing-masing dinamai Cosec α, Sec α dan Ctg α. Dengan kata lain :

Dari ketentauan-ketentuan diatas akan didapat :

 Sin α   = y : x                                                                              Cos α   = x : y

Cos α      r   r                                                                               Sin α       r    r

            = y x r                                                                                            = x  x r

               r    x                                                                                               r    y

           = y                                                                                                  = x

              x                                                                                                     y

           = Tg α                                                                                            = Ctg α

   Tg α  = Sin α                                                                              Ctg α = Cos α

                Cos α                                                                                           Sin α

Ingat   (Sin α)² = Sin² α

Sin² α  + Cos² α = y² + x²

                              r²    r²

                               

                          = y² + (r² – y²)     Ingat phytagoras  r² = y² + x²

                              r²         r²   

                          = r²

                             r²

Sin² α  + Cos² α =  1

Kembali ke gambar 2.

Terlihat

        Sin β  = x/r                             

        Cos β = y/r

        Tg β   = x/y

        Ctg β  = y/x

Jadi

        Sin β  = Cos α                        

        Cos β = Sin α

        Tg β   = Ctg α

        Ctg β  = Tg α

Oleh karena β = 90^o – α                           (Ingat jumlah sudut dalam Segitiga = 180^o).

maka akan didapatkan :

                     Sin β   = Cos α

         Sin (90^o - α)    = Cos α

                    Cos β   = Sin α

           Cos (90^o - α) = Sin α

                      Tg β    = Ctg α

           Tg (90^o - α)    = Ctg α

                     Ctg β   = Tg α

          Ctg (90^o - α)  = Tg α

3.    IDENTITET / KESAMAAN

Dengan rumus yang telah didapat sebelumnya, maka bentuk geniometri dapat diubah kebetuk lainnya. Nantinya akan menjadi kesamaan yang disebut kesamaan (identitet) goniometri.

Contoh :     Cos⁴α – Cos²α = Sin⁴α – Sin²α

Bukti

        Sin²α + Cos²α   = 1

                     Cos²α  = 1 - Sin²α

      Cos⁴α – Cos²α   = (1 - Sin²α)² – (1 - Sin²α)

                                 = 1 – 2 Sin²α + Sin⁴α – 1 + Sin²α

                                 = Sin⁴α  - Sin²α

Demikian bahasan kali ini. Diharap rumus-rumus yng ada dapat dipahami, karena telah dijelaskan rumus-rumus tersebut berasal.

Salam

Mas Admin

Matematika SMP : Garis Istimewa Pada Segitiga

1.    GARIS BAGI

        Adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut yang membagi sudut tersebut sama besar.

2.    GARIS BERAT

        Adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut yang membagi sisi di depannya sama besar.

3.    GARIS TINGGI

        Adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus dengan sisi di depannya.

4.    GARIS SUMBU

        Adalah garis yang ditarik tegak lurus pada suatu sisi dan membagi dua sama panjang sisi tersebut.

Demikian materi tambahan mengenai bangun datar terutama bangun datar segitiga. Semoga bermanfaat.

Salam,

Mas Admin

Matematika SMP : Sudut-sudat Pada Lingkaran

1.    Sudut Pusat Lingkaran dan Sudut Keliling Lingkaran

                   

                                                                               Gbr. 1

        Dalam gambar 1 terlihat

                 <BAC  = Sudut  Keliling Lingkaran, menghadap Busur BC.

                <ABO =  Sudut  Keliling Lingkaran, menghadap Busur AC dan Tali Busur AC. 

                <ACO  = Sudut  Keliling  Lingkaran, menghadap Busur AB dan Tali Busur AB. 

                <BOC   = Sudut  Pusat Lingkaran, menghadap Busur BC.

        Besar  Sudut Pusat Lingkaran 2 kali besar Sudut Keliling Lingkaran yang menghadap busur yang sama. 

        Terlihat  <BOC dan <BAC menghadap busur BC, jadi :

                < BOC = 2 <BAC.                                              

       

        Jika dibuat garis bantu AD, terlihat <BOD dan <COD besarnya  sama dengan <BOC.

2.    Sudut Menghadap Tali Busur Pusat Lingkaran

                                                                            Gbr. 2

        Pada gambar 2 terlihat :

        Tali busur BC = dengan titik Pusat Lingkaran.

              <BAC =  Sudut Keliling Lingkaran, menghadap Busur BC dan Tali Busur BC.

              <ABC =  Sudut Keliling Lingkaran, menghadap Busur BC dan Tali Busur AC.

              <ACB =  Sudut Keliling Lingkaran, menghadap Busur  AB dan Tali Busur AB.

Sudut Yang Menghadap Pusat Lingkaran (O) atau menghadap busur Pusat Lingkaran besarnya 90^o atau selalu Siku-siku.

        Ingat Sudut Dalam Segitiga  selalu 180^o, maka :

                1.  <BAC + <ABC + <ACB = 180^o.

                2.  <ABC + <ACB = 90^o, karena  <BAC sudah 90^o.

3.    Hubungan Sudut-sudut Keliling Lingkaran

                                                                           Gbr. 3

   Pada gambar 3 terlihat :

        <BOC = Sudut Pusat , menghadap Busur BC.

        <BAC = Sudut Keliling Lingkaran, menghadap Busur BC.

        <ABO = Sudut Keliling Lingkaran, neghadap Busur AC dan Tali Busur AC.

        <ACO = Sudut Keliling Lingkaran, neghadap Busur AB dan Tali Busur AB.

                                  <ABO + <ACO = <BAC

4.      Hubungan Antar Sudut Keliling Lingkaran

                                                                               Gbr. 4

  Pada gambar 4 terlihat :

        <BAC = Sudut Keliling Lingkaran , menghadap Busur BC

  <BDC = Sudut Keliling Lingkaran , menghadap Busur BC, merupakan <BAC yang diputar

                 berlawanan jarum jam.

       

        Sudut Keliling Lingkaran yang menghadap busur yang sama besarnya sama.

                <BAC = <BDC

5.    Sudut Berhadapan Di Dalam Lingkaran

                                                                               Gbr. 5

  Pada gambar 5 terlihat Sudut Keliling Lingkaran :

        <BAD berhadapan dengan <BCD.

        <CBA berhadapan dengan <CDA.

Besar kedua sudut yang berhadapan adalah 180^o.    

                <BAD + <BCD = 180^o.

                <CBA + <CDA = 180^o.

                <BAC = <BDC

6.    Sudut Berpotongan Di Dalam Lingkaran

                                                                                Gbr. 6

Pada gambar 6 terlihat :

        Tali Busur AC dan Tali Busur BD berpotongan di titik E.

        <BEC = (<BOC + <AOD)/2            

7.    Sudut Berpotongan Di Luar Lingkaran

                                                               Gbr. 7 

        Pada gambar 7 terlihat :
        Titik Pusat Lingkaran = O
        Titik D dan E adalah Titik potong garis dengan lingkaran.

          <ACB = (<AOB - <DOE) /2


Demikian bahasan Sudut Pada Lingkaran. Semoga bermanfaat.


Salam,
Mas Admin

HPU : Plat Nomor Kendaraan Bermotor Nasional

NO	KODE	PROVINSI/DAERAH
1	A	Banten
2	AA	Kedu
3	AB	Jogjakarta
4	AD	Solo
5	AE	Madiun
6	AG	Kediri
7	B	Jakarta
8	BA	Sumatera Barat
9	BB	Tapanuli
10	BD	Bengkulu
11	BE	Lampung
12	BG	Sumatera Selatan / Palembang
13	BH	Jambi
14	BK	Sumatera Tengah
15	BL	Banda Aceh
16	BM	Riau
17	BN	Bangka dan Belitung
18	CC	Corp Consul
19	CD	Corp Diplomatik
20	DA	Kalimantan Selatan
21	DB	Minahasa
22	DD	Sulawesi Salatan
23	DE	Maluku Selatan
24	DG	Maluku Utara
25	DH	Maluku Timur / Timor dan pulau-pulaunya
26	DK	Bali
27	DL	Sangihe dan  Pulau-pulaunya
28	DM	Sulawesi Utara
29	DN	Sulawesi Tengah
30	DR	Lombok
31	DS	Irian Jaya
32	E	Cirebon
33	EA	Sumbawa
34	EB	Flores
35	ED	Sumba
36	F	Bogor
37	G	Pekalongan
38	H	Semarang
39	K	Jepara, Pati dan Rembang
40	KB	Kalimantan Barat
41	KT	Kalimantan Tengah
42	L	Surabaya
43	M	Madura
44	N	Malang
45	P	Besuki
46	R	Banyumas
47	S	Bojonegoro
48	T	Kerawang
49	Z	Periangan Selatan