Matematika SMA : Fungsi Goniometri Sudut Lancip

Ada pepatah mengatakan "Dari mana datangnya cinta. Dari mata turun ke hati". Dari mana datangnya rumus ? Dari dulunya udah gitu ! Atau au ah gelap ......!
Kali ini Mas Admin membuat materi ilmu ukur segita (trigonometri) dalam beberapa bagian untuk menjelaskan rumus-rumus tersebut berasal. Simak bahasannya.

1.    UNSUR SEGITIGA

Suatu Segitiga terdiri dari tiga unsur yang tidak bergantung satu sama lain. Dengan pertolongan ketiga unsur tersebut suatu segitiga dikonstruksi atau dibuat, dan juga dapat di hitung. Menghitung ketiga unsur tersebut dilakukan dengan ilmu ukur segitiga (trigonometri).

Unsur segitiga tersebut adalah Sisi Tegak, Sisi Datar dan Sisi Miring.

                                                                           Gambar. 1

Pada gambar. 1, α adalah sudut lancip. Pada Sisi Miring segitiga terletak titik-titik B, C dan D. Pada Sisi Datar terdapat proyeksi ketiga titik tersebut yaitu titik-titik b, c dan d.          

Terlihat bahwa :

                    Bb   = Cc    =  Dd

                    AB     AC       AD

Ternyata untuk <α perbandingan Bb : AB adalah tetap.

Besar α ditentukan perbandingan Bb : AB. Jadi Bb : AB adalah ukuran untuk α.

Ilmu yang menyelidiki perbandingan-perbandingan tersebut dinamai ilmu ukur sudut (goniometri). Perbandingan-perbandingan diatas dinamai perbandingan goniometri atau fungsi-fungsi goniometri dari sudut α.

2.    KETENTUAN FUNGSI GONIOMETRI

                                                                         Gambar. 2

       

Pada gambar 2 terlihat :

        ∆ABb adalah segitiga siku-siku pada titik b.          

        Ab = x 

        Bb   = y

        AB  = r

Sekarang kita buat batasan atau ketentuan sbb :

        Sinus α (Sin α)              = Sisi siku-siku yang berseberangan   = y

                                                                  Sisi Miring                                r

        Cosinus α (Cos α)        = Sisi siku-siku yang berbatasan   = x

                                                                   Sisi Miring                        r

        Tangens α (tg α)   = Sisi siku-siku yang berseberangan   = y

                                             Sisi siku-siku yang berbatasan           x

Seandainya pada gambar 2, α = 30^o maka r = 2y.

Misalkan jika y = 1, maka :

        r = 2

      

                                                                                                     Gambar. 3                      

Jadi :

                   

Kebalikan Sin α, Cos α, Tg α masing-masing dinamai Cosec α, Sec α dan Ctg α. Dengan kata lain :

Dari ketentauan-ketentuan diatas akan didapat :

 Sin α   = y : x                                                                              Cos α   = x : y

Cos α      r   r                                                                               Sin α       r    r

            = y x r                                                                                            = x  x r

               r    x                                                                                               r    y

           = y                                                                                                  = x

              x                                                                                                     y

           = Tg α                                                                                            = Ctg α

   Tg α  = Sin α                                                                              Ctg α = Cos α

                Cos α                                                                                           Sin α

Ingat   (Sin α)² = Sin² α

Sin² α  + Cos² α = y² + x²

                              r²    r²

                               

                          = y² + (r² – y²)     Ingat phytagoras  r² = y² + x²

                              r²         r²   

                          = r²

                             r²

Sin² α  + Cos² α =  1

Kembali ke gambar 2.

Terlihat

        Sin β  = x/r                             

        Cos β = y/r

        Tg β   = x/y

        Ctg β  = y/x

Jadi

        Sin β  = Cos α                        

        Cos β = Sin α

        Tg β   = Ctg α

        Ctg β  = Tg α

Oleh karena β = 90^o – α                           (Ingat jumlah sudut dalam Segitiga = 180^o).

maka akan didapatkan :

                     Sin β   = Cos α

         Sin (90^o - α)    = Cos α

                    Cos β   = Sin α

           Cos (90^o - α) = Sin α

                      Tg β    = Ctg α

           Tg (90^o - α)    = Ctg α

                     Ctg β   = Tg α

          Ctg (90^o - α)  = Tg α

3.    IDENTITET / KESAMAAN

Dengan rumus yang telah didapat sebelumnya, maka bentuk geniometri dapat diubah kebetuk lainnya. Nantinya akan menjadi kesamaan yang disebut kesamaan (identitet) goniometri.

Contoh :     Cos⁴α – Cos²α = Sin⁴α – Sin²α

Bukti

        Sin²α + Cos²α   = 1

                     Cos²α  = 1 - Sin²α

      Cos⁴α – Cos²α   = (1 - Sin²α)² – (1 - Sin²α)

                                 = 1 – 2 Sin²α + Sin⁴α – 1 + Sin²α

                                 = Sin⁴α  - Sin²α

Demikian bahasan kali ini. Diharap rumus-rumus yng ada dapat dipahami, karena telah dijelaskan rumus-rumus tersebut berasal.

Salam

Mas Admin