Skema
Pengertian
a. Barisan :
Setiap bilangan dibatasi oleh tanda , (koma).
Contoh
:
4,7,10,13,…..
beda = 7-3 = 4
b. Deret :
Setiap bilangan dibatasi oleh tanda + (plus)
Contoh : 7+11+15+19+
…
beda = 11-7 =4
Perbedaan Aritmetika dan Geometri
a. Barisan / Deret Aritmetika.
Selisih dua buah bilangan disebut beda.
b. Barisan / Deret Geometri.
Perbandingan dua
bilangan disebut rasio.
Perbedaan Naik dan Turun
a. Barisan/Deret Aritmetika
Naik
Beda >0 dan positif.
b. Barisan/Deret Aritmatika Turun
Beda <0 dan negatif.
c. Barisan/Deret Geometri Naik
Un+1 > Un
d. Barisan/Deret Geometri Naik
Un+1 < Un
A. BARISAN
ARITMETIKA
A1. RUMUS SUKU KE n
Dimana :
Un = suku ke n
a = suku pertama
b = beda
Contoh : 4, 7, 10, 13, … Ditanya suku ke 5 ?
Diketahui a = 4 b = 7-4 = 3 n = 5
U5
= a + b (n-1)
= 4 + 3 (5-1)
= 4 + 3(4)
=
16
Bisa juga dengan menggunakan rumus
A2. JUMLAH SUKU n PERTAMA
Dimana :
Un = suku ke n
a = suku pertama
b = beda
x = a
- b
U5 =
bn + (a-b)
= (3x5)+(
4 -3)
= 15 + 1
= 16
A2. JUMLAH SUKU n PERTAMA
Dimana :
Sn = jumlah n suku pertama
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
x = b/2
y = a - x
Contoh : 4, 7, 10, 13, … Ditanya jumlah 3 suku pertama ?
x
= 3/2 y = a - x
= 1½ =
4 –1 ½ = 2½
Sn = x
n2 + y n
= (1½)n2
+(2½)n
S3 = (1½ x 32 ) +( 2½ x 3)
= (3/2 x 9)
+ (5/2 x 3)
=
(27/2 ) + (15/2)
= 42/2
= 21
B. DERET ARITMETIKA / DERET HITUNG
Dinyatakan
dalam bentuk penjumlahan.
Contoh :
Barirsan
: U1, U2, U3, …, Un
Deret : U1
+ U2 + U3 + … + Un
Deret Aritmetika / Deret Hitung
·
Beda salalu sama.
·
Jika beda
> 0 dan positif = deret aritmetika naik.
·
Jika beda < 0 dan negative = deret aritmetika
turun.
Contoh : 2 + 5 + 8 + 11
+ 14 + 17 + …
3 = beda selalu
sama
B1. RUMUS SUKU KE n DERET ARITMETIKA
Dimana :
Un
=
Suku ke n
a = suku pertama
b = beda
n = suku
Contoh
: 2 + 6
+ 10 + 14 + …
U4 = 2 + 4
(5-1)
= 2 + 4 (4)
= 2 + 16
= 18
B2. SUKU TENGAH DERET ARITMETIKA
Dimana:
Ut = Suku
tengah
a = suku pertama
a = suku pertama
Un = suku terakhir
Contoh : 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + … +206
Ut = 6 + 206
2
= 212 /2
= 106
B3. SISIPAN PADA DERET ARITMETIKA.
Menambah beberapa bilangan diantara dua suku yang
berurutan.
Dimana :
b1 = beda
pada deret baru baru
b = beda pada deret awal
k = banyaknya
bilangan yang akan disisipkan
Contoh Deret Awal :
4 +13
+ 22 + 31
Diantara 4 dan 13 akan disisipkan 2 bilangan,
menjadi 4 + x + y + 13
b1 = (13 - 4)/(2+1)
x = 4+3 =7
= 9/3
y = 7 + 3 = 10
= 3
B4. JUMLAH n SUKU PERTAMA DERET ARITMETIKA.
Dimana :
Sn = Jumlah
n suku pertama
a = suku
pertama
a2 = suku terakhir
b = beda
n = suku
Contoh : Jumlah 20 suku pertama dari 7 + 11 + 15 + 19 + …
S20 = ½ x 20 ( 2 x7 + 4
(20-1))
= 10 (14 +
4(19))
= 10 ( 14 + 76)
= 10 x 90
= 900
Contoh :
6 +
10 + 14 + 18 + 22 + … + 206
S2 = ½ 2 (2x6 + 4 (2-1))
= 1 (12 + 4(1))
= 16
C. DERET GEOMETRI / DERET UKUR
U1 + U2 + U3 + U4
+ … + U5
r = U2/U1 = U3 / U2 = U4/U3 selalu sama
Un+1 > Un = Deret Geometri Naik
Un+1 < Un = Deret
Geometri Turun
C1. SUKU KE n
DERET GEOMETRI
Un
= a x r n-1
Un = Suku
ke n
a = beda
r
= rasio
n
= suku
Contoh : 3 + 6 + 12 + 24 + …
U5 = 3 x 2(5-1)
= 3 x 24
= 3 x 16
= 48
= 48
`
C2. SUKU TENGAH DERET GEOMETRI
Ut =
suku tengah
A = suku pertama
Un = suku terakhir
C3. SISIPAN PADA DERET GEOMETRI
Menambah beberapa buah bilangan diantara dua suku yang
berurutan.
Dimana :
r1 = rasio deret baru
x = bilangan terakhir
a = bilangan awal
k = jumlah suku yang disisipkan
Contoh : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …
Diantara
3 dan 48 disisipkan 3 bilangan baru (x,y,z)
Sn = Jumlah n Suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = suku
Sebalah Kiri untuk r > 1 Sebelah Kanan untuk r <0
Sebalah Kiri untuk r > 1 Sebelah Kanan untuk r <0
Contoh : 2 + 6 + 18 + 54
+ …
S3
= 2 (33 -1)/( 3
-1)
=
2 (27-1)/ 2
=
(2 x 26) / 2
=
26
SOAL-SOAL UN
1. UN 2009
Atau dengan cara Ini
U30 = a + 29 b
= (91+4)/2
Jawaban :
3/9
= 1/3
SOAL-SOAL UN
1. UN 2009
Rumus Suku ke-n barsan bilangan adalah Un = 2n(n-1).
Hasil dari U0 – U7 adalah ……
Jawaban :
U7 = 2
x 7 x (7 – 1) U9 = 2
x 9 x (9 – 1)
= 14
x 6 = 18 x 8
= 84 = 144
U9 – U8 = 144
– 84
= 60
2.
UN 2009
Budi sedang menumpuk kursi yang tingginya masing-masing
90cm. Tinggi tumpukan 2 kursi 96 cm, dan tinggi tumpukan 3 kursi 102 cm. Tinggi
tumpukan 10 kursi adalah ……………
Jawaban :
Rumus Un
= a + (n + 1) b
dimana
a = bilangan
pertama
b = beda
n = suku ke n
a = 90 U10 = 90
+ ( 10 -1 ) 6
b = 96 -90) =
6 = 90 + ( 9 ) 6
n = 10 =
90 + 54
= 144
3.
UN 2010
Perhatikan gambar pola di
bawah.
Banyaknya lingkaran pada pola
ke-20 adalah ……………
Jawaban :
Bukan
Barisan Aritmetika juga Geometri karena
beda atau rasionya acak.
Dua suku berikutnya
dari barisan bilangan 50,45,39,32, …. Adalah ……….
Jawaban :
Bukan
Barisan Aritmetika juga Geometri karena
beda atau rasionya tidak tetap.
Rumus suku ke-n suatu barisan bilangan Un= 2n – n2. Jumlah skuu ke 10 dan suku
ke 11 barisan tersebut adalah …………..
Jawaban :
U10 = (2 x 10) – 102 U11 = (2 x
11) – 112
= 20 – 100 = 22 – 121
= -80 =
-99
U11 + U10 = -99
+ (-80)
= -99 + 80
= -179
6. UN 2012
Dari
barisan aritmetika diketahui suku ke-7 =
22 dan suku ke 11 = 34. Jumlah 18 suku pertama adalah ……………..
Jawaban :
Barisan Aritmetika
S18 =
18/2 [ 2x4 + (18-1) 3
]
= 9 [ 8 +
(17 x 3) ]
= 9 ( 8 + 51)
= 9 x 59
= 531
7. UN 2012
7. UN 2012
Amuba akan membelah diri menjadi dua setiap 15 menit. Jika mula-mula ada
30 amuba, maka banyak amuba selama 2 jam adalah …………………….
Jawaban :
Cara I
Cara II
Cara II
U1 = 30 Didapat Rumus 30 x 2n-1
U2 = 60
U3 = 120 Setelah 2 jam = 30 x 29-2
= 30
x 28
= 30 x256
= 7.680
Cara III pakai rumus Barisan
Geometri
Un = a rn-1
Dimana n = suku ke n
a = suku pertama
r = rasio
a = 30 n = (120 / 15) + 1
r = 2 (karena
kelipatan 2) = 9
U9 = 30 2(8-1)
= 30 28
= 7.680
8. UN 2012
Dua suku berikutnya dari barisan 3, 4, 6, 9, … adalah …………….
Jawaban
:
3, 4, 6, 9, x, y Perhatikan beda/rasionya tidak tetap, jadi bukan barisan
1 2 3 4 5 Aritemetika atau Geometri, Perlu dicari pola secara manual.
1 2 3 4 5 Aritemetika atau Geometri, Perlu dicari pola secara manual.
X = 9
+ 4 = 13
Y = 13 + 5 = 18
9.
UN 2013
Suku ke-3 dan suku-7 barisan aritmetika berturut-turut 10 dan 22. Jumlah
30 suku pertama barisan tersebut …………………
Jawaban :
Rumus Suku
ke n barisan Aritmetika Un =
n/2 [ 2a + (n-1)b ]
Dimana n = suku ke n
a = suku
pertama
b = beda
b = U7 - U3 U3 = a + 2b U30 = 30/2 [(2x4) + (30-1) 3 ]
7 -3 10 = a + (2 x 3) = 15 [ 8 + (29x3)]
= 22-10 10 = a + 6 = 15 [ 8 + 87]
4 a = 4 = 15 x 95
= 12/4 = 1.425
= 3
Atau dengan cara Ini
·
Cari beda dengan cara yg sama
·
Cari nilai suku pertama
10 = a +
2b
a = 10 – 2b
= 10 – (2 x3) didapat 4, 7, 10, …
= 10 – 6
= 4
·
Tentukan Nilai Terakhir (yang) dicari selalu n-1 karena
a, a+b, a+2b, a+3b ….dst
= 4 + (29 x 3)
= 4 + 87
= 91 sekarang barisnya jadi 4, 7, 10, …,91
·
Tentuakn Sn
S30 = (suku terakhir + suku pertama)/2
x n
= 95
x 15
= 1.425
10. UN 2013
Suku ke-30 dari barisan bilangan 7, 15, 23,
31, 39, .. adalah ……………
Jawaban :
7 15 23 31
39 a = 7 Cara II
8 8 8 8 = beda b=8 Pakai rumus dasar Un =
….. n + ………
Un = α n + ß
Un = α n + ß
α = beda
Cara I ß = operasi dgn α akan menghasilkan U pertama
Cara I ß = operasi dgn α akan menghasilkan U pertama
Un =
a + (n-1) b Un = 8n - 1
U50 = 7 +
(50-1) x 8 U50 = 8 x
50 - 1
= 7
x (49 x 8) = 400 -1
= 7
x 392 = 399
= 399
11. UN 2013
Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 9, 3,,1,
1/3, … adalah …
Jawaban :
Rumus
barisan Geomerti untuk Suku ke n Un = a x rn-1
Dimana
n = suku ke n
a = suku pertama
r = rasio
r = U1/U2
= 1/3
Un = a x rn-1
= 9
x (1/3
)n-1
= 32
x (3-1)n-1
= 32
x 3-n+1
= 3(2-n+1)
= 33-n
12.
UN 2013
Diketahui arisan bilangan aritmetika dengan U5=8 dan U9=20. Suku ke-10 adalah
……………
Diketahui arisan bilangan aritmetika dengan U5=8 dan U9=20. Suku ke-10 adalah
……………
Jawaban :
b = (U9-U5)/(9-5) U10 = U9 +b
= (20-8)/4 = 20 + 3
= 12/4 = 23
=3
b = (U9-U5)/(9-5) U10 = U9 +b
= (20-8)/4 = 20 + 3
= 12/4 = 23
=3
13.
( UN 2014
Dari barisan aritmetika diketahui
U3 = 18 dan U7 = 38. Jumlah 24 suku pertama
…………..
…………..
Jawaban :
b = (38-18 )/ (7-3) 18 = a + 2b U24 = a + 23b S24 = (UAkhir + U1)/2 x n
= 20/4 = a+(2 x 5) = 8+(23x5) = (123+a)/2
= 5 a = 18 – 10 = 8 + 115 =
(123+8)/ 2 x 24
= 8 = 123 = 131 x 12
= 1.572
Pakai Rumus Un =
+ [ 2a + (n-1)b ] hasilnya sama!
14. UN 2014
Dalam sebuah aula terdapat 25
kursi pada baris pertama, dan setiap baris berikutnya bertambah 3 kursi dari kursi
depannya. Jika aula itu memuat 8 baris kursi,
maka banyak kursi dalam aula adalah …………
Jawaban :
a = 25
b = 3
S8 =
x [ 2a + (n-1)b ]
=
x [ (2x25 + (8-1)3) ]
= 4 x [50 + (7x3) ]
= 4 x (50 + 21)
= 4 x 71
= 284
15.
UN 2015
Diketahui barisan bilangan 8, 15, 22, 29, 36, … Suku ke-30
adalah ……………..
Jawaban :
8, 15, 22,
29, 36
7
7 7 7 =
b ATAU
U30
=
…. a + …
= 7n + 1
U30 = a +
(n-1)b = (7 x 30) + 1
= 8
+ (30-1)7 = 210 + 1
= 8
+ (29 x 7) = 211
= 8
+ 203
= 211
16.
UN 2015
Noni membawa tali pramuka untuk kelompok regunya. Tali tersebut
dibagi 5 bagian dengan masing-masing panjang membentuk barisan geometri. Tali yang
paling pendek sepanjang 3 meter dan yang paling panjang 48 meter. Panjang tali semula
yang dibawa Noni adalah …………
Jawaban :
Rumus
Deret Geometri Un = a
rn-1 a =
suku pertama
n = suku ke n
Sn = a (rn – 1)/(r-l) r = rasio
n = suku ke n
Sn = a (rn – 1)/(r-l) r = rasio
Note : ini deret Geometri.
Dikatakan deret tak hingga jika r
<1
Un = arn-1 S5 = a
rn-1
48 = 3 r (5-1) = 3 x (25-1)
= 3
r4 = 3 x (32 -1)
r4 =
48/3 = 3 x 31
= 16 = 91 meter
r = 2
17. UN 2015
Jumlah kelipatam 5 antara 200
dan 400 adalah ……………….
Jawaban :
205,
210,215, …,395 Suku Terakhir = a +
(n-1)b S39 = (a + U39 ) /2 x 39
b=5 395 = 205 + (n-1) 5 = (205+395)/2 x 39
395-205 = (n-1)5 = (600)/2 x 39
190 = (n-1)5 = 300 x 39
(n-1) = 190/5 = 11.700
Semoga bermanfaat. Silahkan berlatih dengan soal lainnya.
Salam,
Mas Admin
b=5 395 = 205 + (n-1) 5 = (205+395)/2 x 39
395-205 = (n-1)5 = (600)/2 x 39
190 = (n-1)5 = 300 x 39
(n-1) = 190/5 = 11.700
Semoga bermanfaat. Silahkan berlatih dengan soal lainnya.
Salam,
Mas Admin
No comments:
Post a Comment