Matematika SMP : Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran.

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dibagi atas :

•     Garis Singgung Persekutuan Luar
•          Garis Singgung Persekutuan Dalam

 Dimana untuk menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan Garis Singgung ini diperlukan pemahaman atas “Teorema Phytagoras”.

Rumus Umum untuk mencari panjang garis singgung persekutuan dua buah lingkaran adalah ;

 Dimana    

                        GSP      = Garis Singgung Persekutuan

                        JADPL  = Jarak Antar Dua Pusat Lingkaran

                        R1         = Jari-jari Lingkaran Pertama

                        R2         = Jari-jari Lingkaran Kedua

Ingatlah dalam rumus umum diatas, tanda – (akan selalu minus apapun jenis garis singgungnya). Sedangkan tanda ± (tergantung jenis garis singgungnya, bisa + atau -).

A.  GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM

    

           

Pada Gambar.1 terdapat dua buah lingkaran . Lingkaran pertama berpusat di titik A dengan jari-jari R₁. Sedangkan Ligkaran kedua berpusat di titik B dengan jari-jari R₂. Jarak dari titik pusat pertama (A) ke titik pusat lingkaran kedua (B) adalah s. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah d. 

 Pada Gambar.2, Garis Singgung Persekutuan Dalam (d) ditarik sejajar kearah atas, sehingga salah satu ujungnya menyentuh pusat lingkaran B. Akan menghasilkan garis baru d’ yang kongkruen dengan garis d (panjang d = d’). Pergerakan garis d menjadi garis d’ adalah sejauh R₂’ (panjang R2’ = R2). 

Pada gambar.3, kita dapati segitiga siku-siku. Karena kita akan mencari panjang garis singgung persekutuannya, maka yang kita cari adalah d’ atau d (karena d’=d). Sisi bawah segitiga didapat R1 + R2.

Dengan teorema Phytagoras didapat.

 Perhatikan dirumus umum

         d = GSP, karena Garis Singgung Persekuan Dalam maka d = GSPD

              s = JADPL

              Kedua jari jari ditambah.

B.  GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR

   

Pada Gambar.4, terdapat dua buah lingkaran . Lingkaran pertama berpusat di titik A dengan jari-jari R₁. Sedangkan Ligkaran kedua berpusat di titik B dengan jari-jari R₂. Jarak dari titik pusat pertama (A) ke titik pusat lingkaran kedua (B) adalah s. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah d.

Pada Gambar.5, Garis Singgung Persekutuan Luar (d) ditarik sejajar kearah bawah, sehingga salah satu ujungnya menyentuh pusat lingkaran B. Akan menghasilkan garis baru d’ yang kongkruen dengan garis d (panjang d = d’). Pergerakan garis d menjadi garis d’ adalah sejauh R₂’ (panjang R2’ = R2).

Pada gambar 6, kita dapati segitiga siku-siku. Karena kita akan mencari panjang garis singgung persekutuannya, maka yang kita cari adalah d’ atau d (karena d’=d). Sisi bawah segtiga didapat R1-R2.

Dengan teorema Phytagoras didapat. 

Perhatikan dirumus umum

         d = GSP, karena Garis Singgung Persekuan Luar maka d = GSPL

              s = JADPL

              Jari-jari besar – jari-jari kecil.

Soal-Soal :

1.   UN 2012

   Dua buah lingkaran berpusat di A dan B dengan jaak AB = 20 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam 16 cm dan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat A=5 cm. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat B adalah ?

      Jawaban :

      s = 20 cm          d = 16 cm

      R₁ = 5 cm          R₂ ?

d²                 =    s² – (R1 – R2)²

16²              =    20² – (5 + R2)²

256           =    400 – (25 + R2²)

(5 + R2)²  =    400 – 256

                 =    144

                 =    12²

5+R2        =    12

R2            =    12-5

                 =    7 cm

2.   UN 2013

Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 25 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran 52 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran ?

Jawaban :

R₁ = 25 cm                   R₂ = 5 cm

s = 52 cm                     d?

 d²   = s² – (R1 –R2)²

        =     52² – (25 -5)²

        =     2704 - (20)²

        =     2704 - 400

        =     2308

d      =     √2308

        =     48 cm

3.    UN 2014

Diketahui dua lingkaran berjari-jari masing-masing 12 cm dan 5 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 24 cm, maka jarak titik pusat lingkaran?

Jawaban :

R₁ = 12 cm                   R₂ = 5 cm

d = 24 cm                     s?

d²    = s² – (R1 –R2)²

24²  = s² – (12 -5)²

s²    = 24² + (7)²

        = 576 + 49

        = 625

s      =  √625

        =  25 cm

     

Demikian,penjelasan Mas Admin.

Semoga Bermanfaat